Esercizio 1.40 - sovrapposizione con due GIT

Testo (Eserciziario, es. 1.40). Rete in regime stazionario con $R_1 = 6\ \Omega$, $R_2 = 10\ \Omega$, $R_3 = 3\ \Omega$, $E_1 = 15\ \mathrm V$, $E_2 = 29\ \mathrm V$. Calcolare le correnti con i riferimenti di figura.

Figura (descritta). Filo in basso comune. A sinistra $E_1$ ($+$ in alto, $I_{E1}$ verso l'alto); in alto $R_1$ porta al nodo centrale N con $I_1$ verso destra; da N scende $R_3$ con $I_3$ verso il basso; da destra arriva $R_2$ con $I_2$ verso sinistra (verso N); a destra $E_2$ ($+$ in alto, $I_{E2}$ verso l'alto).

Risultati: $I_1 = 1\ \mathrm A$, $I_2 = 2\ \mathrm A$, $I_3 = 3\ \mathrm A$ (e $I_{E1} = 1\ \mathrm A$, $I_{E2} = 2\ \mathrm A$).

Teoria: Principio di sovrapposizione degli effettiIn una rete lineare (resistori, GIT, GIC) ogni tensione e ogni corrente è combinazione lineare delle impresse dei generatori. Quindi si può calcolarla facendo agire un generatore alla volta, con gli altri spenti (GIT spento = cortocircuito, GIC spento = circuito aperto), e sommando i contributi. Vale per tensioni e correnti, non per le potenze.Principio di sovrapposizione degli effetti →.

1. Solo $E_1$ ($E_2$ in cortocircuito)

$E_1$ vede $R_1$ in serie al parallelo di $R_2$ e $R_3$ (con $E_2$ cortocircuitato, $R_2$ va da N al filo in basso, come $R_3$):

$$R_{eq1} = R_1 + \frac{R_2 R_3}{R_2 + R_3} = 6 + \frac{30}{13} = \frac{108}{13}\ \Omega, \qquad I'_1 = I'_{E1} = \frac{E_1}{R_{eq1}} = \frac{15 \cdot 13}{108} = \frac{65}{36}\ \mathrm A$$

Questa corrente arriva in N e si divide tra $R_3$ e $R_2$ (partitore di correnteIn un ramo va la corrente totale per la resistenza dell'altro ramo diviso la somma delle due.Partitori di tensione e di corrente →):

$$I'_3 = \frac{65}{36} \cdot \frac{R_2}{R_2 + R_3} = \frac{65}{36} \cdot \frac{10}{13} = \frac{25}{18}\ \mathrm A$$

In $R_2$ la corrente va da N verso destra, cioè contro il riferimento di $I_2$:

$$I'_2 = -\frac{65}{36} \cdot \frac{R_3}{R_2 + R_3} = -\frac{65}{36} \cdot \frac{3}{13} = -\frac{5}{12}\ \mathrm A$$

2. Solo $E_2$ ($E_1$ in cortocircuito)

Simmetricamente, $E_2$ vede $R_2$ in serie a $R_1 \parallel R_3 = \frac{18}{9} = 2\ \Omega$:

$$R_{eq2} = 10 + 2 = 12\ \Omega, \qquad I''_2 = I''_{E2} = \frac{29}{12}\ \mathrm A$$

$$I''_3 = \frac{29}{12} \cdot \frac{R_1}{R_1 + R_3} = \frac{29}{12} \cdot \frac69 = \frac{29}{18}\ \mathrm A, \qquad I''_1 = -\frac{29}{12} \cdot \frac{R_3}{R_1 + R_3} = -\frac{29}{36}\ \mathrm A$$

($I''_1$ è negativa perché in $R_1$ la corrente va da N verso sinistra.)

3. Somma

$$I_1 = \frac{65}{36} - \frac{29}{36} = \frac{36}{36} = 1\ \mathrm A, \qquad I_2 = -\frac{5}{12} + \frac{29}{12} = 2\ \mathrm A, \qquad I_3 = \frac{25}{18} + \frac{29}{18} = 3\ \mathrm A$$

Le correnti dei generatori coincidono con quelle dei resistori in serie: $I_{E1} = I_1 = 1\ \mathrm A$, $I_{E2} = I_2 = 2\ \mathrm A$. Controllo LKC in N: $I_1 + I_2 = I_3$, cioè $1 + 2 = 3$ ✓.

I contributi parziali hanno frazioni brutte, il risultato è pulito: è tipico della sovrapposizione.

4. Verifica con le correnti di anello

Due anelli orari: $I_{A1}$ (sinistra: $E_1$, $R_1$, $R_3$) e $I_{A2}$ (destra: $R_3$, $R_2$, $E_2$).

$$\begin{cases} (R_1 + R_3)\, I_{A1} - R_3 I_{A2} = E_1 \\ -R_3 I_{A1} + (R_2 + R_3)\, I_{A2} = -E_2 \end{cases} \quad\Longrightarrow\quad \begin{cases} 9\, I_{A1} - 3\, I_{A2} = 15 \\ -3\, I_{A1} + 13\, I_{A2} = -29 \end{cases}$$

Soluzione: $I_{A1} = 1$, $I_{A2} = -2$. Quindi $I_1 = I_{A1} = 1$, $I_2 = -I_{A2} = 2$, $I_3 = I_{A1} - I_{A2} = 3$ ✓. Due equazioni invece di due reti: qui le correnti di anello sono più rapide.

Bilancio delle potenze: generatori $15 \cdot 1 + 29 \cdot 2 = 73\ \mathrm W$; resistori $6 + 40 + 27 = 73\ \mathrm W$ ✓.