Esercizio 1.12 - serie di più resistori

Testo (Eserciziario, es. 1.12). Rete in regime stazionario: un bipolo adinamico $b_1$ con tensione $V_s = 100\ \mathrm V$ alimenta $\ell = 4$ resistori in serie, $R_1 = 5\ \Omega$, $R_2 = 10\ \Omega$, $R_3 = 15\ \Omega$, $R_4 = 20\ \Omega$. Le tensioni $V_1, \dots, V_4$ hanno il $+$ dalla parte da cui entra la corrente $I_s$ (concordi con $V_s$). Calcolare:

1. la resistenza $R_s$ equivalente alla serie;
2. le tensioni $V_1$, $V_2$, $V_3$, $V_4$.

Risultati: $R_s = 50\ \Omega$; $V_1 = 10\ \mathrm V$, $V_2 = 20\ \mathrm V$, $V_3 = 30\ \mathrm V$, $V_4 = 40\ \mathrm V$.

Teoria: Serie e parallelo di bipoliDue bipoli sono in serie se hanno un nodo in comune a cui non è collegato nient'altro: stessa corrente, le tensioni si sommano. Sono in parallelo se sono collegati alla stessa coppia di nodi: stessa tensione, le correnti si sommano. Resistori in serie: R_s = somma delle R; in parallelo: G_p = somma delle G (per due, R1R2/(R1+R2)). GIT in serie e GIC in parallelo si sommano algebricamente; GIC in serie a qualunque cosa resta un GIC, GIT in parallelo a qualunque cosa resta un GIT.Serie e parallelo di bipoli →, Partitori di tensione e di correnteIn una serie di resistori la tensione totale si divide in proporzione alle resistenze: v_k = R_k/R_s · v_s (per due: v_1 = R_1/(R_1+R_2) · v_s). In un parallelo la corrente totale si divide in proporzione alle conduttanze: i_k = G_k/G_p · i_p (per due: i_1 = R_2/(R_1+R_2) · i_p, con la resistenza dell'altro ramo al numeratore). Le formule valgono con i riferimenti "naturali": se il riferimento chiesto è opposto, si cambia segno.Partitori di tensione e di corrente →.

1. Resistenza equivalente

Quattro resistori uno dopo l'altro, nessun ramo laterale: sono in serieOgni nodo intermedio collega solo due resistori, quindi la LKC impone la stessa corrente in tutti..

$$R_s = \sum_{k=1}^{4} R_k = 5 + 10 + 15 + 20 = 50\ \Omega$$

2. Partitore di tensione con quattro resistori

La formula generale è $V_k = \dfrac{R_k}{R_s}\, V_s$. Il rapporto $V_s / R_s = 100/50 = 2\ \mathrm A$ è la corrente comune, quindi ogni tensione è semplicemente $2 \cdot R_k$:

Le frazioni sommano a 1 e le tensioni a $V_s$: è la LKTLungo un percorso chiuso la somma algebrica delle tensioni è zero: qui V_s = V_1 + V_2 + V_3 + V_4.Leggi di Kirchhoff (LKC e LKT) → lungo la serie, un buon controllo.

Osservazione. Le tensioni sono proporzionali alle resistenze: $R_4$ è quattro volte $R_1$ e prende quattro volte la tensione. Non serve conoscere $b_1$: basta la tensione ai suoi morsetti.