Esercizio 1.49 - Norton della rete dell'esercizio 1.45

Testo (Eserciziario, es. 1.49). Stessa rete di Esercizio 1.45 - Thévenin e partitore sul carico: $J = 4\ \mathrm A$, $E = 20\ \mathrm V$, $R_1 = R_2 = 10\ \Omega$, $R_3 = 5\ \Omega$.

1. Della rete a destra della porta AB determinare $R_{eq}$ e la corrente di cortocircuito $I_{cc}$ (uscente dal morsetto A).
2. Per la rete completa, determinare $V_{AB}$.

Figura (descritta). A sinistra della porta $R_3$ tra A e B. A destra: il GIC $J$ (freccia in su) e $R_1$ tra A e B; il GIT $E$ sul filo superiore ($-$ verso A, $+$ verso destra); $R_2$ che scende sul lato destro fino a B.

Risultati: $R_{eq} = 5\ \Omega$, $J_{eq} = I_{cc} = 2\ \mathrm A$, $V_{AB} = 5\ \mathrm V$.

Teoria: Teoremi di Thévenin e di NortonUna rete resistiva lineare vista da due morsetti equivale (Thévenin) a un GIT in serie a un resistore: la f.e.m. è la tensione a vuoto v_0 e il resistore è la resistenza interna R_eq, cioè la resistenza vista dai morsetti con tutti i generatori indipendenti spenti. Equivale anche (Norton) a un GIC in parallelo a un resistore: la corrente è quella di cortocircuito i_cc e la conduttanza è G_eq = 1/R_eq. Vale R_eq = v_0 / i_cc.Teoremi di Thévenin e di Norton →.

1. Resistenza equivalente

Come nell'esercizio 1.45: $R_{eq} = R_1 \parallel R_2 = 5\ \Omega$.

2. Corrente di cortocircuito

Si collega un filo tra A e B (al posto di $R_3$). $I_{cc}$ è la corrente che esce dalla rete di destra dal morsetto A ed entra nel filo.

Effetto del cortocircuito: $R_1$ ha i due capi su A e su B, che ora sono lo stesso nodo: è cortocircuitato, corrente nulla.

Solo $J$ ($E$ in cortocircuito). Anche $R_2$ ora va da A (attraverso il cortocircuito di $E$) a B: cortocircuitato. Tutta la corrente di $J$ va nel filo:

$$I'_{cc} = J = 4\ \mathrm A$$

Solo $E$ ($J$ aperto). Resta la maglia $E$, $R_2$, filo di cortocircuito ($R_1$ è cortocircuitato). La corrente esce dal $+$ di $E$, scende in $R_2$ fino a B, attraversa il filo da B ad A e rientra nel $-$ di $E$: nel filo va in verso opposto a $I_{cc}$.

$$I''_{cc} = -\frac{E}{R_2} = -2\ \mathrm A$$

$$I_{cc} = 4 - 2 = 2\ \mathrm A$$

Controllo con Thévenin: dall'esercizio 1.45, $V_{AB0} = 10\ \mathrm V$, e $V_{AB0}/R_{eq} = 10/5 = 2\ \mathrm A$ ✓.

3. Il circuito con il carico

Equivalente di Norton: GIC $J_{eq} = 2\ \mathrm A$ con la freccia verso A, in parallelo a $R_{eq} = 5\ \Omega$. Il verso è quello che, cortocircuitando la porta, fa uscire $J_{eq}$ da A, cioè riproduce $I_{cc}$.

Collegando $R_3$, la corrente $J_{eq}$ attraversa $R_{eq} \parallel R_3$:

$$\boxed{V_{AB} = J_{eq}\, \frac{R_{eq} R_3}{R_{eq} + R_3} = 2 \cdot \frac{25}{10} = 5\ \mathrm V}$$

uguale al risultato ottenuto con Thévenin. Thévenin o NortonDanno sempre lo stesso risultato sul carico: si sceglie quello più comodo, per esempio Norton se il carico è in parallelo ad altri rami.: qui Norton porta a un parallelo, Thévenin a un partitore di tensione.