Esercizio 1.17 - trasformazione stella-triangolo

Testo (Eserciziario, es. 1.17). Tre resistori a stella $R_1$, $R_2$, $R_3$ (collegati ai nodi 1, 2, 3 e al centro stella O) e tre resistori a triangolo $R_{12}$, $R_{23}$, $R_{31}$ (collegati direttamente tra i nodi). Calcolare $R_{12}$, $R_{23}$, $R_{31}$ che rendono le due configurazioni equivalenti, per:

1. $R_1 = 10\ \Omega$, $R_2 = 20\ \Omega$, $R_3 = 40\ \Omega$;
2. $R_1 = R_2 = R_3 = 10\ \Omega$.

Risultati: (1) $R_{12} = 35\ \Omega$, $R_{23} = 140\ \Omega$, $R_{31} = 70\ \Omega$; (2) $R_{12} = R_{23} = R_{31} = 30\ \Omega$.

Teoria: Resistenza equivalente e trasformazione stella-triangoloUna rete di soli resistori passivi vista da due morsetti A e B equivale a un unico resistore R_eq. Si calcola riducendo la rete con serie e parallelo, partendo dalla parte più lontana dai morsetti. Quando serie e parallelo non bastano (ponti), si usa la trasformazione triangolo→stella (R_A = R_AB·R_CA / somma) o stella→triangolo (R_AB = (R_A R_B + R_B R_C + R_C R_A)/R_C). Con tre resistori uguali R_Δ = 3 R_Y.Resistenza equivalente e trasformazione stella-triangolo →.

Le formule stella → triangolo

$$R_{12} = \frac{R_1 R_2 + R_2 R_3 + R_3 R_1}{R_3}, \qquad R_{23} = \frac{R_1 R_2 + R_2 R_3 + R_3 R_1}{R_1}, \qquad R_{31} = \frac{R_1 R_2 + R_2 R_3 + R_3 R_1}{R_2}$$

Il numeratore è lo stesso per tutti e tre (la somma dei prodotti a due a due). Al denominatore c'è il resistore della stella opposto al lato cercato: per $R_{12}$ si divide per $R_3$, quello attaccato al nodo 3Il lato 1-2 del triangolo non tocca il nodo 3: si divide per il resistore della stella che va al nodo 3..

Caso 1

Numeratore comune:

$$R_1 R_2 + R_2 R_3 + R_3 R_1 = 10 \cdot 20 + 20 \cdot 40 + 40 \cdot 10 = 200 + 800 + 400 = 1400\ \Omega^2$$

$$R_{12} = \frac{1400}{40} = 35\ \Omega, \qquad R_{23} = \frac{1400}{10} = 140\ \Omega, \qquad R_{31} = \frac{1400}{20} = 70\ \Omega$$

Controllo di buon senso. Tra i nodi 1 e 2, con il nodo 3 libero, la stella offre $R_1 + R_2 = 30\ \Omega$. Il triangolo offre $R_{12}$ in parallelo a $R_{23} + R_{31}$:

$$35 \parallel (140 + 70) = \frac{35 \cdot 210}{245} = 30\ \Omega \ ✓$$

Le due configurazioni si comportano allo stesso modo tra 1 e 2.

Osservazione. Il lato più piccolo del triangolo ($R_{12} = 35$) è quello tra i nodi i cui resistori della stella sono più piccoli ($R_1$, $R_2$): il nodo 3, collegato con il resistore grande $R_3 = 40$, è "lontano" dagli altri, e il triangolo lo rappresenta con lati grandi ($140$ e $70$).

Caso 2

Numeratore: $3 \cdot (10 \cdot 10) = 300\ \Omega^2$; ogni lato vale $300/10 = 30\ \Omega$.

È il caso simmetrico: $R_\Delta = 3\, R_Y = 3 \cdot 10 = 30\ \Omega$.