Esercizio 1.46 - Thévenin e potenza sul carico

Testo (Eserciziario, es. 1.46). Rete in regime stazionario con $R_1 = R_2 = 6\ \Omega$, $R_3 = 4\ \Omega$, $R_u = 1\ \Omega$, $E_1 = 12\ \mathrm V$, $J_2 = 2\ \mathrm A$.

1. Della rete a sinistra della porta AB (nel riquadro) determinare $R_{eq}$ e la tensione a vuoto $V_{AB0}$ (con il $+$ su A).
2. Per la rete completa, determinare la potenza assorbita dal carico $R_u$.

Figura (descritta). Filo in basso = B. Da sinistra: il GIT $E_1$ ($+$ in alto); in alto $R_1$ fino al nodo M; da M il GIC $J_2$ (freccia in su, verso M) scende fino a B; da M $R_2$ prosegue in alto fino al nodo A; da A $R_3$ scende fino a B. Fuori dal riquadro, $R_u$ è collegato tra A e B.

Risultati: $R_{eq} = 3\ \Omega$, $V_{AB0} = 6\ \mathrm V$, $P_u = \dfrac94\ \mathrm W = 2{,}25\ \mathrm W$.

Teoria: Teoremi di Thévenin e di NortonUna rete resistiva lineare vista da due morsetti equivale (Thévenin) a un GIT in serie a un resistore: la f.e.m. è la tensione a vuoto v_0 e il resistore è la resistenza interna R_eq, cioè la resistenza vista dai morsetti con tutti i generatori indipendenti spenti. Equivale anche (Norton) a un GIC in parallelo a un resistore: la corrente è quella di cortocircuito i_cc e la conduttanza è G_eq = 1/R_eq. Vale R_eq = v_0 / i_cc.Teoremi di Thévenin e di Norton →, Teorema del massimo trasferimento di potenzaUna rete con equivalente di Thévenin (e_eq, R_i) cede a un carico resistivo R_u la potenza P = R_u e_eq² / (R_i + R_u)². Al variare di R_u questa potenza è massima per R_u = R_i (carico adattato) e vale P_max = e_eq² / (4 R_i). In quella condizione il rendimento è solo del 50%.Teorema del massimo trasferimento di potenza →.

1. Resistenza equivalente

Generatori spenti: $E_1$ cortocircuito, $J_2$ aperto. Da A si vede $R_3$ verso B e, in parallelo, il percorso $R_2$ → M → $R_1$ → (cortocircuito) → B, cioè $R_1 + R_2 = 12\ \Omega$:

$$R_{eq} = R_3 \parallel (R_1 + R_2) = \frac{4 \cdot 12}{16} = 3\ \Omega$$

2. Tensione a vuoto (sovrapposizione)

Solo $E_1$ ($J_2$ aperto): una maglia $E_1$, $R_1$, $R_2$, $R_3$; la tensione su $R_3$ è un partitore:

$$V'_{AB0} = E_1\, \frac{R_3}{R_1 + R_2 + R_3} = 12 \cdot \frac{4}{16} = 3\ \mathrm V$$

Solo $J_2$ ($E_1$ in cortocircuito): $J_2$ porta $2\ \mathrm A$ nel nodo M. Da M la corrente torna a B per due vie: $R_1$ (poi il cortocircuito al posto di $E_1$), $6\ \Omega$; oppure $R_2 + R_3 = 10\ \Omega$. Partitore di corrente:

$$I''_3 = J_2\, \frac{R_1}{R_1 + (R_2 + R_3)} = 2 \cdot \frac{6}{16} = \frac34\ \mathrm A, \qquad V''_{AB0} = R_3 I''_3 = 3\ \mathrm V$$

$$V_{AB0} = 3 + 3 = 6\ \mathrm V$$

3. Potenza sul carico

Equivalente di Thévenin: $6\ \mathrm V$ in serie a $3\ \Omega$. Con $R_u = 1\ \Omega$:

$$I_u = \frac{V_{AB0}}{R_{eq} + R_u} = \frac{6}{4} = 1{,}5\ \mathrm A, \qquad \boxed{P_u = R_u I_u^2 = 1 \cdot 2{,}25 = 2{,}25\ \mathrm W}$$

4. Osservazione: il carico non è adattato

Per il teorema del massimo trasferimentoLa potenza sul carico è massima quando la sua resistenza è uguale alla resistenza interna dell'equivalente di Thévenin.Teorema del massimo trasferimento di potenza → la potenza sarebbe massima con $R_u = R_{eq} = 3\ \Omega$:

$$P_{max} = \frac{V_{AB0}^2}{4 R_{eq}} = \frac{36}{12} = 3\ \mathrm W$$

Con $R_u = 1\ \Omega$ si arriva al $75\%$ del massimo.