Esercizio 1.21 - resistenza equivalente, rete con diagonali

Testo (Eserciziario, es. 1.21). Calcolare la resistenza equivalente tra A e B della rete in figura (valori in ohm).

Figura (descritta). Un rettangolo con due diagonali che convergono nel punto K a metà del lato inferiore. I morsetti A e B sono al centro del rettangolo, uno sopra l'altro: A è collegato verso l'alto, B verso il basso.

Risultato: $R_{eq} = 62\ \Omega$.

Teoria: Resistenza equivalente e trasformazione stella-triangoloUna rete di soli resistori passivi vista da due morsetti A e B equivale a un unico resistore R_eq. Si calcola riducendo la rete con serie e parallelo, partendo dalla parte più lontana dai morsetti. Quando serie e parallelo non bastano (ponti), si usa la trasformazione triangolo→stella (R_A = R_AB·R_CA / somma) o stella→triangolo (R_AB = (R_A R_B + R_B R_C + R_C R_A)/R_C). Con tre resistori uguali R_Δ = 3 R_Y.Resistenza equivalente e trasformazione stella-triangolo →.

Idea. La corrente che entra in A deve passare per il $24$ fino a M, poi attraversare la rete da M a K, poi il $6$ fino a B. Quindi

$$R_{eq} = 24 + R_{MK} + 6$$

dove $R_{MK}$ è la resistenza della parte di rete tra M e K. Tutto il lavoro è calcolare $R_{MK}$.

1. Lato destro (da M a K passando per Q e S)

• Il $100$ e il $25$ sono entrambi tra S e K: parallelo, $\dfrac{100 \cdot 25}{125} = \dfrac{2500}{125} = 20\ \Omega$.
• Il percorso M → Q → S → K ha ora $15$, $5$ e $20$, con nodi intermedi Q e S senza altri collegamenti: serie, $15 + 5 + 20 = 40\ \Omega$ tra M e K.

2. Lato sinistro (da M a K passando per P)

• Il $50$ e il $10$ hanno in comune solo il nodo L: serie, $50 + 10 = 60\ \Omega$ tra P e K.
• Tra P e K c'è anche la diagonale da $30$: parallelo, $\dfrac{60 \cdot 30}{90} = 20\ \Omega$.
• Nel nodo P restano ora il $140$ (verso M) e questo $20$ (verso K): serie, $140 + 20 = 160\ \Omega$ tra M e K.

3. I due lati in parallelo

Tra M e K ci sono il lato destro ($40\ \Omega$) e il lato sinistro ($160\ \Omega$):

$$R_{MK} = \frac{160 \cdot 40}{160 + 40} = \frac{6400}{200} = 32\ \Omega$$

4. Il risultato

$$\boxed{R_{eq} = 24 + 32 + 6 = 62\ \Omega}$$

Il $24$ e il $6$ sono in serie con il resto perché i morsetti A e B sono "appesi"A è collegato soltanto al 24 e B soltanto al 6: tutta la corrente entrante in A deve attraversare il 24, e tutta quella uscente da B il 6. ai nodi M e K tramite un solo resistore ciascuno.

Errori comuni

• Lasciarsi ingannare dal disegno: A e B sono vicini sul foglio, ma elettricamente sono lontani (tra loro c'è tutta la rete).
• Mettere il $30$ in parallelo con il $50$ soltanto: il $30$ va da P a K, e da P a K sul lato sinistro c'è la serie $50 + 10$.