Principio di sovrapposizione degli effetti

Dispensa, paragrafo 10.6. Conseguenza della linearità del sistema di equazioni visto in Analisi nodale (metodo dei potenziali ai nodi)Si sceglie un nodo di riferimento (potenziale zero) e si prendono come incognite gli n−1 potenziali degli altri nodi; ogni tensione è una differenza di potenziali, quindi le LKT sono automatiche. Si scrive la LKC su ogni nodo non di riferimento, per ispezione: autoconduttanza × potenziale del nodo − Σ mutue conduttanze × potenziali vicini = somma delle correnti dei GIC entranti. Ogni GIT senza resistore in serie aggiunge un'incognita (la sua corrente) e un'equazione (u_+ − u_− = e): è l'analisi nodale modificata (MNA).Analisi nodale (metodo dei potenziali ai nodi) →. È lo strumento con cui si dimostrano i Teoremi di Thévenin e di NortonUna rete resistiva lineare vista da due morsetti equivale (Thévenin) a un GIT in serie a un resistore: la f.e.m. è la tensione a vuoto v_0 e il resistore è la resistenza interna R_eq, cioè la resistenza vista dai morsetti con tutti i generatori indipendenti spenti. Equivale anche (Norton) a un GIC in parallelo a un resistore: la corrente è quella di cortocircuito i_cc e la conduttanza è G_eq = 1/R_eq. Vale R_eq = v_0 / i_cc.Teoremi di Thévenin e di Norton →.

Da dove viene

In una rete fatta di resistori, GIT e GIC il sistema delle $2\ell$ equazioni è lineare:

$$M \begin{bmatrix} v \\ i \end{bmatrix} = g$$

dove $M$ contiene solo $+1$, $0$, $-1$, $-R$, $-G$ e il termine noto $g$ contiene zeri e le impresse $e_k$, $j_k$. Se la soluzione è unica, $M$ è invertibile e

$$\begin{bmatrix} v \\ i \end{bmatrix} = M^{-1} g$$

Ogni incognita è quindi una combinazione lineare delle impresse, con coefficienti che dipendono solo dai resistori e dai collegamenti. Con $r$ GIT e $s$ GIC, per una generica tensione $v_h$:

$$v_h = \alpha_{h1} e_1 + \dots + \alpha_{hr} e_r + \rho_{h1} j_1 + \dots + \rho_{hs} j_s$$

Ogni termine, per esempio $\alpha_{h1} e_1$, è la tensione $v_h$ che si avrebbe se agisse solo $e_1$ e tutte le altre impresse fossero zero. (I coefficienti $\alpha$ sono adimensionali, i $\rho$ sono resistenze; per le correnti si hanno conduttanze e numeri puri.)

Spegnere un generatore

"Azzerare l'impressa" di un generatore vuol dire sostituirlo con il suo caso limite:

I resistori restano al loro posto: si spengono solo i generatori indipendenti.

La procedura

1. Si fa agire un solo generatore, spegnendo tutti gli altri, e si calcola la grandezza cercata (tensione o corrente) con i riferimenti fissati all'inizio.
2. Si ripete per ogni generatore: ognuno agisce una e una sola volta.
3. Si sommano i contributi, ciascuno con il suo segno.

Ogni sottorete è più semplice dell'originale, perché contiene cortocircuiti e circuiti aperti al posto dei generatori spenti: spesso si risolve con serie, parallelo e partitori, senza sistemi.

Variante: si possono far agire i generatori anche a gruppi (per esempio due insieme e il terzo da solo), purché alla fine ognuno abbia agito esattamente una volta.

Esempio

Rete della dispensa (Fig. 10.9): a sinistra un GIT $e_1$ ($+$ in alto), in alto il resistore $R_1$ che porta al nodo N, da N scende $R_2$ (con $i_2$ verso il basso), a destra un GIC $j_1$ che spinge corrente verso N; tutto si richiude sul filo in basso. Si cerca $i_2$.

• Agisce solo $e_1$ ($j_1$ aperto): $R_1$ e $R_2$ in serie, $i_2' = \dfrac{e_1}{R_1 + R_2}$.
• Agisce solo $j_1$ ($e_1$ cortocircuitato): $R_1$ e $R_2$ in parallelo sotto il GIC, partitore di corrente $i_2'' = \dfrac{R_1}{R_1 + R_2}\, j_1$.

$$i_2 = i_2' + i_2'' = \frac{1}{R_1 + R_2}\, e_1 + \frac{R_1}{R_1 + R_2}\, j_1$$

Si leggono direttamente i coefficienti: $\frac{1}{R_1 + R_2}$ è una conduttanza, $\frac{R_1}{R_1 + R_2}$ un numero puro.

Le potenze non si sovrappongono

La potenza è un prodotto ($p = v\,i$ o $R\,i^2$), non una funzione lineare delle impresse. Con due contributi $i'$ e $i''$:

$$R\,(i' + i'')^2 = R\,i'^2 + R\,i''^2 + 2R\,i' i'' \ne R\,i'^2 + R\,i''^2$$

Il termine misto $2R\,i'i''$ manca. Prima si sommano le correnti (o le tensioni), poi si calcola la potenza.

Esempio numerico: in un resistore da $1\ \Omega$ un generatore da solo farebbe passare $2\ \mathrm A$ e l'altro da solo $3\ \mathrm A$ nello stesso verso. La corrente vera è $5\ \mathrm A$ e la potenza $25\ \mathrm W$, non $4 + 9 = 13\ \mathrm W$.

Conseguenza: una rete di resistori è un resistore

Se a una rete di soli resistori si collega un unico generatore (GIT o GIC) alla porta A–B, c'è una sola impressa, e quindi la grandezza non impressa della porta è proporzionale a quella impressa. Tensione e corrente della porta sono proporzionali: la rete vista da A–B è un resistore. È la giustificazione della resistenza equivalenteUna rete di resistori passivi vista da due morsetti equivale a un unico resistore R_eq.Resistenza equivalente e trasformazione stella-triangolo →.

Quando conviene

• Pochi generatori e una rete che, con i generatori spenti, si riduce bene con serie e parallelo.
• Quando serve sapere quanto pesa ciascun generatore su una certa grandezza.
• Per calcolare la tensione a vuoto o la corrente di cortocircuito nei Teoremi di Thévenin e di NortonUna rete resistiva lineare vista da due morsetti equivale (Thévenin) a un GIT in serie a un resistore: la f.e.m. è la tensione a vuoto v_0 e il resistore è la resistenza interna R_eq, cioè la resistenza vista dai morsetti con tutti i generatori indipendenti spenti. Equivale anche (Norton) a un GIC in parallelo a un resistore: la corrente è quella di cortocircuito i_cc e la conduttanza è G_eq = 1/R_eq. Vale R_eq = v_0 / i_cc.Teoremi di Thévenin e di Norton →.

Con molti generatori conviene di solito un metodo sistematico (nodi o anelli).

Esercizi: Esercizio 1.38 - sovrapposizione con un GIT e un GIC, Esercizio 1.39 - sovrapposizione con tre generatori, Esercizio 1.40 - sovrapposizione con due GIT, Esercizio 1.41 - sovrapposizione e potenze dei generatori.

Errori comuni

• Spegnere un GIT con un circuito aperto (o un GIC con un cortocircuito): è l'errore più grave, cambia la rete.
• Cambiare i riferimenti da una sottorete all'altra: la grandezza cercata va calcolata in ogni sottorete con lo stesso riferimento, altrimenti la somma è sbagliata.
• Sommare le potenze dei singoli contributi.
• Spegnere anche i generatori pilotati (che si vedranno con i doppi bipoli): si spengono solo quelli indipendenti.