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Note per Studenti Esercizio 1.52 - formula di Millman con tre rami

Esercizio 1.52 - formula di Millman con tre rami

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Testo (Eserciziario, es. 1.52). Rete in regime stazionario con due GIT in serie a resistori e un GIC in parallelo a un resistore: R1=10 ΩR_1 = 10\ \Omega, R2=5 ΩR_2 = 5\ \Omega, R3=10 ΩR_3 = 10\ \Omega, E1=100 VE_1 = 100\ \mathrm V, E2=200 VE_2 = 200\ \mathrm V, J3=20 AJ_3 = 20\ \mathrm A (nel testo dell'Eserciziario l'unità di J3J_3 è scritta per errore "V"). Calcolare VABV_{AB} con la formula di Millman.

Figura (descritta). Filo in alto = A, filo in basso = B. Tra i due fili, da sinistra: un ramo con E1E_1 (in alto, ++ verso A) e R1R_1; il GIC J3J_3 (freccia in giù, verso B); il resistore R3R_3; un ramo con R2R_2 (in alto) ed E2E_2 (in basso, −- in alto, ++ verso B).

Risultato: VAB=−125 VV_{AB} = -125\ \mathrm V.

Teoria: Analisi nodale (metodo dei potenziali ai nodi)Si sceglie un nodo di riferimento (potenziale zero) e si prendono come incognite gli n−1 potenziali degli altri nodi; ogni tensione è una differenza di potenziali, quindi le LKT sono automatiche. Si scrive la LKC su ogni nodo non di riferimento, per ispezione: autoconduttanza × potenziale del nodo − Σ mutue conduttanze × potenziali vicini = somma delle correnti dei GIC entranti. Ogni GIT senza resistore in serie aggiunge un'incognita (la sua corrente) e un'equazione (u_+ − u_− = e): è l'analisi nodale modificata (MNA).Analisi nodale (metodo dei potenziali ai nodi) → (formula di Millman).

1. I segni nel numeratore

Ramo Contributo Perché
E1E_1–R1R_1 +E1/R1=+10 A+E_1/R_1 = +10\ \mathrm A il ++ di E1E_1 è verso A
J3J_3 −J3=−20 A-J_3 = -20\ \mathrm A la freccia esce da A (punta verso B)
R3R_3 00 solo resistore
R2R_2–E2E_2 −E2/R2=−40 A-E_2/R_2 = -40\ \mathrm A il ++ di E2E_2 è verso B

Il denominatore è la somma delle conduttanze: 110+110+15=0,4 S\frac{1}{10} + \frac{1}{10} + \frac{1}{5} = 0{,}4\ \mathrm S (il GIC non contaUn GIC ideale ha conduttanza nulla: è un circuito aperto per quanto riguarda il legame tra tensione e corrente. al denominatore).

2. Il calcolo

VAB=10−20−400,4=−500,4=−125 V\boxed{V_{AB} = \frac{10 - 20 - 40}{0{,}4} = \frac{-50}{0{,}4} = -125\ \mathrm V}

3. Controllo con la sovrapposizione

  • Solo E1E_1: E1E_1 vede R1R_1 in serie a R2∥R3=5015=103 ΩR_2 \parallel R_3 = \frac{50}{15} = \frac{10}{3}\ \Omega; partitore: V′=100⋅10/310+10/3=100⋅14=25 VV' = 100 \cdot \dfrac{10/3}{10 + 10/3} = 100 \cdot \dfrac{1}{4} = 25\ \mathrm V.
  • Solo E2E_2: E2E_2 vede R2R_2 in serie a R1∥R3=5 ΩR_1 \parallel R_3 = 5\ \Omega; la tensione su questo parallelo, con il ++ su A, è −200⋅55+5=−100 V-200 \cdot \dfrac{5}{5 + 5} = -100\ \mathrm V (il ++ di E2E_2 è verso B).
  • Solo J3J_3: J3J_3 toglie 20 A20\ \mathrm A ad A e li porta in B attraverso R1∥R2∥R3R_1 \parallel R_2 \parallel R_3: conduttanza 0,4 S0{,}4\ \mathrm S, resistenza 2,5 Ω2{,}5\ \Omega, V′′′=−20⋅2,5=−50 VV''' = -20 \cdot 2{,}5 = -50\ \mathrm V.

VAB=25−100−50=−125 V ✓V_{AB} = 25 - 100 - 50 = -125\ \mathrm V \ ✓

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