Resistenza equivalente e trasformazione stella-triangolo

Dispensa, paragrafo 9.4. Applica in serie le regole di Serie e parallelo di bipoliDue bipoli sono in serie se hanno un nodo in comune a cui non è collegato nient'altro: stessa corrente, le tensioni si sommano. Sono in parallelo se sono collegati alla stessa coppia di nodi: stessa tensione, le correnti si sommano. Resistori in serie: R_s = somma delle R; in parallelo: G_p = somma delle G (per due, R1R2/(R1+R2)). GIT in serie e GIC in parallelo si sommano algebricamente; GIC in serie a qualunque cosa resta un GIC, GIT in parallelo a qualunque cosa resta un GIT.Serie e parallelo di bipoli →. È il primo passo di quasi tutti gli esercizi: ridurre la rete finché resta un circuito semplice.

Resistenza equivalente a una porta

Si prende una rete fatta solo di resistori passivi, accessibile da due morsetti A e B. Vista da A e B è un bipolo, e si dimostra che questo bipolo è un resistore passivo: con la convenzione dell'utilizzatore

$$v = R_{eq}\, i \qquad\Longleftrightarrow\qquad i = G_{eq}\, v, \quad G_{eq} = \frac{1}{R_{eq}}$$

$R_{eq}$ è la resistenza equivalente (o resistenza vista) ai morsetti A–B. Il significato pratico: se si applica una tensione $v$ tra A e B, entra in A la corrente $v / R_{eq}$.

Procedura con serie e parallelo

1. Dare un nome ai nodi. È il passo che evita quasi tutti gli errori. Due punti collegati da un filo (cortocircuito) sono lo stesso nodo, anche se nel disegno sono lontani.
2. Partire dalla parte più lontana da A e B. Lì di solito ci sono gruppi riconoscibili; vicino ai morsetti tutto è collegato con tutto.
3. Cercare serie e paralleli, verificando la definizione:
   • serie: due resistori con un nodo comune a cui non arriva nient'altro;
   • parallelo: due resistori sugli stessi due nodi.
4. Sostituire e ridisegnare. Dopo ogni sostituzione si ridisegna la rete: nuovi serie e paralleli diventano visibili.
5. Ripetere fino a un unico resistore tra A e B.

Situazioni speciali da riconoscere

Svolti in: Esercizio 1.19 - resistenza equivalente, rete a tre rami, Esercizio 1.20 - resistenza equivalente, rete a scala, Esercizio 1.21 - resistenza equivalente, rete con diagonali, Esercizio 1.22 - resistenza equivalente con un cortocircuito, Esercizio 1.23 - resistenza equivalente e corrente erogata, Esercizio 1.24 - resistenza equivalente, resistori uguali, Esercizio 1.25 - resistenza equivalente con diagonale.

La resistenza equivalente dipende dai morsetti

La stessa rete ha resistenze equivalenti diverse a seconda di quali due nodi si scelgono come morsetti. Esempio: tre resistori da $6\ \Omega$ a triangolo tra i nodi 1, 2, 3. Tra 1 e 2 si vede $6 \parallel (6 + 6) = \frac{6 \cdot 12}{18} = 4\ \Omega$; il lato tra 1 e 2 e il percorso 1–3–2 sono in parallelo. Se invece si cortocircuita il nodo 3 con il nodo 2, tra 1 e 2 si vede $6 \parallel 6 = 3\ \Omega$ (il resistore 2–3 è cortocircuitato). Bisogna sempre sapere dove si sta guardando.

Quando serie e parallelo non bastano: stella e triangolo

Alcune reti non contengono né serie né paralleli. Il caso tipico è il ponte: cinque resistori tra quattro nodi, con un resistore "trasversale" in mezzo (vedi Esercizio 1.26 - resistenza equivalente con ponte, stella-triangolo). Per sbloccarle si usano due configurazioni di tre resistori:

• stella (Y): tre resistori $R_A$, $R_B$, $R_C$ che partono dai nodi A, B, C e si uniscono in un nodo centrale O (il centro stella), a cui non è collegato nient'altro;
• triangolo ($\Delta$): tre resistori $R_{AB}$, $R_{BC}$, $R_{CA}$ collegati direttamente tra le coppie di nodi.

Sono entrambe tripoli (tre morsetti verso l'esterno). Con i valori giusti hanno lo stesso comportamento ai morsetti A, B, C, e allora si può sostituire l'una all'altra senza che il resto della rete se ne accorga: la trasformazione toglie il nodo O (stella → triangolo) o lo aggiunge (triangolo → stella).

Formule

Triangolo → stella:

$$R_A = \frac{R_{AB}\, R_{CA}}{R_{AB} + R_{BC} + R_{CA}}, \qquad R_B = \frac{R_{AB}\, R_{BC}}{R_{AB} + R_{BC} + R_{CA}}, \qquad R_C = \frac{R_{BC}\, R_{CA}}{R_{AB} + R_{BC} + R_{CA}}$$

Come ricordarla: il resistore della stella attaccato al nodo A ha al numeratore i due lati del triangolo che toccano A ($R_{AB}$ e $R_{CA}$), al denominatore la somma dei tre lati.

Stella → triangolo:

$$R_{AB} = \frac{R_A R_B + R_B R_C + R_C R_A}{R_C}, \qquad R_{BC} = \frac{R_A R_B + R_B R_C + R_C R_A}{R_A}, \qquad R_{CA} = \frac{R_A R_B + R_B R_C + R_C R_A}{R_B}$$

Come ricordarla: numeratore sempre uguale (somma dei prodotti a due a due); al denominatore il resistore della stella opposto al lato cercato (per $R_{AB}$ quello attaccato a C, che non tocca né A né B).

Caso simmetrico. Se i tre resistori sono uguali:

$$R_\Delta = 3\, R_Y \qquad\Longleftrightarrow\qquad R_Y = \frac{R_\Delta}{3}$$

Verifica con le formule: stella con $R_Y$ ovunque, $R_{AB} = \frac{3 R_Y^2}{R_Y} = 3 R_Y$; triangolo con $R_\Delta$ ovunque, $R_A = \frac{R_\Delta^2}{3 R_\Delta} = \frac{R_\Delta}{3}$.

Da dove vengono le formule (approfondimento)

Se due tripoli sono equivalenti, devono avere in particolare la stessa resistenza tra ogni coppia di morsetti con il terzo morsetto libero. Tra A e B, con C libero:

• nella stella la corrente passa per $R_A$ e $R_B$ ($R_C$ ha un morsetto libero, non porta corrente): $R_A + R_B$;
• nel triangolo $R_{AB}$ è in parallelo alla serie $R_{BC} + R_{CA}$: $\dfrac{R_{AB}(R_{BC} + R_{CA})}{\Sigma}$, con $\Sigma = R_{AB} + R_{BC} + R_{CA}$.

Scrivendo lo stesso per le coppie B–C e C–A si hanno tre equazioni:

$$R_A + R_B = \frac{R_{AB}(R_{BC} + R_{CA})}{\Sigma}, \quad R_B + R_C = \frac{R_{BC}(R_{CA} + R_{AB})}{\Sigma}, \quad R_C + R_A = \frac{R_{CA}(R_{AB} + R_{BC})}{\Sigma}$$

Sommando la prima e la terza e sottraendo la seconda, a sinistra resta $2 R_A$ e a destra

$$\frac{R_{AB}R_{BC} + R_{AB}R_{CA} + R_{CA}R_{AB} + R_{CA}R_{BC} - R_{BC}R_{CA} - R_{BC}R_{AB}}{\Sigma} = \frac{2\, R_{AB}\, R_{CA}}{\Sigma}$$

da cui $R_A = R_{AB} R_{CA} / \Sigma$: la prima formula. Le altre si ottengono allo stesso modo. Che queste tre condizioni bastino (e non solo servano) dipende dal fatto che un tripolo resistivo lineare è descritto proprio da tre numeri.

Esempi numerici

• Stella $R_1 = 10$, $R_2 = 20$, $R_3 = 40\ \Omega$: somma dei prodotti $200 + 800 + 400 = 1400$, quindi $R_{12} = 1400/40 = 35\ \Omega$, $R_{23} = 1400/10 = 140\ \Omega$, $R_{31} = 1400/20 = 70\ \Omega$ (Esercizio 1.17 - trasformazione stella-triangolo).
• Triangolo $R_{12} = 20$, $R_{23} = 80$, $R_{31} = 100\ \Omega$: somma $200$, quindi $R_1 = \frac{100 \cdot 20}{200} = 10\ \Omega$, $R_2 = \frac{80 \cdot 20}{200} = 8\ \Omega$, $R_3 = \frac{100 \cdot 80}{200} = 40\ \Omega$ (Esercizio 1.18 - trasformazione triangolo-stella).

Quale trasformazione scegliere

In un ponte di solito si può scegliere fra quattro trasformazioni (due stelle e due triangoli). Danno tutte lo stesso risultato: conviene quella che, dopo la sostituzione, fa comparire subito serie e paralleli, e quella con i numeri più comodi.

Errori comuni

• Trasformare una "stella" il cui centro ha un quarto collegamento. Il centro stella deve toccare solo i tre resistori.
• Sbagliare il denominatore in stella → triangolo: va il resistore opposto al lato.
• Dimenticare di ridisegnare dopo la trasformazione: i nodi A, B, C restano, il centro O sparisce (o compare), e gli altri resistori restano attaccati agli stessi nodi di prima.
• Non dare nomi ai nodi e confondere due punti dello stesso nodo con due nodi diversi.