Esercizio 1.26 - resistenza equivalente con ponte, stella-triangolo

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Testo (Eserciziario, es. 1.26). Rete in regime stazionario con 12 resistori e un bipolo adinamico $b_1$ di tensione $V = 100\ \mathrm V$ (il $+$ sul nodo 1), con $R_1 = 5$ , $R_2 = 10$ , $R_3 = 20$ , $R_4 = 20$ , $R_5 = 50$ , $R_6 = 40$ , $R_7 = 15$ , $R_8 = 10$ , $R_9 = 60$ , $R_{10} = 40$ , $R_{11} = 20$ , $R_{12} = 10$ (tutti in ohm). La corrente $I$ esce da $b_1$ ed entra nel nodo 1. Calcolare:

la resistenza equivalente $R_{eq}$ alla porta 1–2;
la corrente $I$ .

Figura (descritta). $b_1$ è collegato ai nodi 1 (in alto) e 2 (in basso).

Resistore	Tra i nodi	Resistore	Tra i nodi
$R_1$	1 – 3	$R_7$	5 – 7
$R_3$	2 – 4	$R_9$	7 – 9
$R_5$	3 – 4	$R_8$	5 – 8
$R_2$	3 – 5	$R_{10}$	8 – 9
$R_4$	4 – 6	$R_{11}$	7 – 8 (il "ponte" in mezzo)
$R_6$	5 – 6	$R_{12}$	9 – 6

I resistori $R_7$ , $R_8$ , $R_9$ , $R_{10}$ , $R_{11}$ formano un rombo tra i nodi 5 (a sinistra), 7 (in alto), 8 (in basso) e 9 (a destra), con $R_{11}$ come diagonale verticale tra 7 e 8.

Risultati: $R_{eq} = 50\ \Omega$ , $I = 2\ \mathrm A$ .

Teoria: Resistenza equivalente e trasformazione stella-triangolo.

1. Perché serie e parallelo non bastano

Nel rombo ogni nodo (5, 7, 8, 9) ha almeno tre resistori: non c'è nessuna serie. E nessuna coppia di resistori collega gli stessi due nodi: non c'è nessun parallelo. È un ponte. Per sbloccarlo si trasforma una stella in un triangolo (o un triangolo in una stella).

2. Stella → triangolo sul nodo 7

Nel nodo 7 arrivano esattamente tre resistori, $R_7$ (verso 5), $R_9$ (verso 9) e $R_{11}$ (verso 8), e nient'altro: è una stella con centro 7 e vertici 5, 9, 8. La si sostituisce con un triangolo tra 5, 8, 9; il nodo 7 sparisce.

Numeratore comune (somma dei prodotti a due a due):

$R_7 R_9 + R_7 R_{11} + R_9 R_{11} = 15 \cdot 60 + 15 \cdot 20 + 60 \cdot 20 = 900 + 300 + 1200 = 2400\ \Omega^2$

Al denominatore va il resistore della stella che va al vertice opposto al lato:

Lato del triangolo	Vertice opposto	Denominatore	Valore
$R_{58}$	9	$R_9 = 60$	$2400/60 = 40\ \Omega$
$R_{59}$	8	$R_{11} = 20$	$2400/20 = 120\ \Omega$
$R_{89}$	5	$R_7 = 15$	$2400/15 = 160\ \Omega$

3. Ora compaiono i paralleli

Dopo la trasformazione, tra 5 e 8 ci sono $R_{58}$ e $R_8$ , tra 8 e 9 ci sono $R_{89}$ e $R_{10}$ :

$R_{58} \parallel R_8 = \frac{40 \cdot 10}{50} = 8\ \Omega, \qquad R_{89} \parallel R_{10} = \frac{160 \cdot 40}{200} = 32\ \Omega$

Nel nodo 8 restano solo questi due: serie, $8 + 32 = 40\ \Omega$ tra 5 e 9. In parallelo c'è $R_{59} = 120$ :

$R_{eq,59} = \frac{40 \cdot 120}{160} = 30\ \Omega$

Controllo con un'altra trasformazione. Si può invece trasformare il triangolo $R_7$ , $R_8$ , $R_{11}$ (nodi 5, 7, 8; somma $15 + 10 + 20 = 45$ ) in una stella con centro O:

$R_{O5} = \frac{R_7 R_8}{45} = \frac{10}{3}, \qquad R_{O7} = \frac{R_7 R_{11}}{45} = \frac{20}{3}, \qquad R_{O8} = \frac{R_8 R_{11}}{45} = \frac{40}{9}$

Allora tra 5 e 9: $R_{O5}$ in serie al parallelo di $(R_{O7} + R_9) = \frac{200}{3}$ e $(R_{O8} + R_{10}) = \frac{400}{9}$ :

$\frac{10}{3} + \frac{\frac{200}{3} \cdot \frac{400}{9}}{\frac{200}{3} + \frac{400}{9}} = \frac{10}{3} + \frac{80}{3} = 30\ \Omega \ ✓$

Stesso risultato: le trasformazioni possibili sono quattro e danno tutte $30\ \Omega$ .

4. Il resto della rete

Il rombo è ora un resistore da $30\ \Omega$ tra 5 e 9.

Nel nodo 9 arrivano solo $R_{eq,59}$ e $R_{12}$ : serie, $30 + 10 = 40\ \Omega$ tra 5 e 6.
Tra 5 e 6 c'è anche $R_6 = 40$ : parallelo, $40 \parallel 40 = 20\ \Omega$ .
Il percorso 3 → 5 → 6 → 4 passa per $R_2$ , questo $20$ , $R_4$ : serie, $R_{eq,34} = 10 + 20 + 20 = 50\ \Omega$ tra 3 e 4.
Tra 3 e 4 c'è anche $R_5 = 50$ : parallelo, $50 \parallel 50 = 25\ \Omega$ .
Il percorso 1 → 3 → 4 → 2 passa per $R_1$ , questo $25$ , $R_3$ : serie.

$\boxed{R_{eq} = R_1 + (R_5 \parallel R_{eq,34}) + R_3 = 5 + 25 + 20 = 50\ \Omega}$

5. La corrente

$I$ entra nel nodo 1, dove c'è il $+$ di $V$ : per la rete di resistori è la convenzione dell'utilizzatore.

$\boxed{I = \frac{V}{R_{eq}} = \frac{100}{50} = 2\ \mathrm A}$

Errori comuni

Trasformare come "stella" un nodo con quattro resistori (il nodo 5, che ha $R_2$ , $R_6$ , $R_7$ , $R_8$ ): la stella deve avere esattamente tre resistori e nessun altro collegamento sul centro.
Sbagliare i denominatori nella stella → triangolo: per ogni lato, il resistore della stella che va al vertice non toccato dal lato.
Dimenticare che dopo la trasformazione i resistori $R_8$ e $R_{10}$ restano attaccati agli stessi nodi di prima e vanno combinati con i nuovi lati.

Teoria collegata

Resistenza equivalente e trasformazione stella-triangolo