Esercizio 1.22 - resistenza equivalente con un cortocircuito

Testo (Eserciziario, es. 1.22). Calcolare la resistenza equivalente tra A e B della rete in figura (valori in ohm).

Figura (descritta).

• Tra A (in alto) e B (in basso) c'è un resistore verticale da $240\ \Omega$.
• A destra: da A parte un $40$ verso destra fino al nodo X; da X un $5$ scende fino al nodo Y; da Y un $15$ torna a sinistra fino a B.
• A sinistra: un resistore da $25$ in verticale tra due nodi L (in alto) e L' (in basso). Un filo collega L a L' girando intorno al $25$ (il $25$ è in parallelo a quel filo). Da L parte verso destra un filo che si interrompe prima di arrivare ad A. Da L' un resistore da $12$ va verso destra fino a B.

       ┌──────┐ L          A
       │      ●────    ●───/\/\/───● X
       │      │        │    40     │
       │      25      240          5
       │      │        │           │
       └──────●──/\/\/─●───/\/\/───● Y
              L'  12   B    15

Risultato: $R_{eq} = 48\ \Omega$.

Teoria: Resistenza equivalente e trasformazione stella-triangoloUna rete di soli resistori passivi vista da due morsetti A e B equivale a un unico resistore R_eq. Si calcola riducendo la rete con serie e parallelo, partendo dalla parte più lontana dai morsetti. Quando serie e parallelo non bastano (ponti), si usa la trasformazione triangolo→stella (R_A = R_AB·R_CA / somma) o stella→triangolo (R_AB = (R_A R_B + R_B R_C + R_C R_A)/R_C). Con tre resistori uguali R_Δ = 3 R_Y.Resistenza equivalente e trasformazione stella-triangolo →, Esercizio 1.9 - serie di due resistori e casi limite, Esercizio 1.13 - parallelo di due resistori e casi limite.

1. Il lato destro

Nel nodo X arrivano solo il $40$ e il $5$, nel nodo Y solo il $5$ e il $15$: i tre resistori sono in serie,

$$40 + 5 + 15 = 60\ \Omega \quad \text{(tra A e B)}$$

2. Il lato sinistro

Il $25$ è cortocircuitato. Il filo tra L e L' rende i due nodi lo stesso nodo. Il $25$ ha entrambi i morsetti sullo stesso nodo, quindi tensione nulla e corrente nulla: è il caso "resistore in parallelo a un cortocircuito = cortocircuito". Si cancella il $25$ e resta il filo.

Il $12$ è appeso a un circuito aperto. Dopo il passo precedente, il percorso da B verso sinistra è: $12$, poi il nodo L = L', poi il filo che va verso A e si interrompe. Il $12$ è quindi in serie a un circuito aperto: in quel ramo non può passare corrente (serie con un circuito apertoSe un elemento della serie impone corrente nulla, tutta la serie ha corrente nulla: il bipolo equivalente è un circuito aperto.Esercizio 1.9 - serie di due resistori e casi limite →). Tutto il lato sinistro equivale a un circuito aperto tra A e B, e si può togliere.

3. Il parallelo finale

Tra A e B restano il $240$ e il $60$ (più un circuito aperto, che non conta):

$$\boxed{R_{eq} = \frac{240 \cdot 60}{240 + 60} = \frac{14400}{300} = 48\ \Omega}$$

Che cosa insegna

Due semplificazioni "a costo zero" da cercare sempre prima di fare i conti:

Qui i resistori da $25$ e $12$ sono messi apposta per confondere: non portano corrente, e il risultato dipende solo da $240$, $40$, $5$, $15$.

Errori comuni

• Mettere il $25$ in parallelo al $12$ o al $240$.
• Mettere il $12$ in parallelo al $240$, come se il filo interrotto arrivasse ad A.