Esercizio 1.50 - Norton con tre rami generatori

Testo (Eserciziario, es. 1.50). Rete a regime stazionario con $E_1 = 60\ \mathrm V$, $E_2 = 150\ \mathrm V$, $J_3 = 4\ \mathrm A$, $R_1 = R_2 = R_3 = 30\ \Omega$, $R_4 = 10\ \Omega$.

1. Della rete a sinistra della porta AB determinare $R_{eq}$ e la corrente di cortocircuito $I_{cc}$ (uscente dal morsetto A).
2. Per la rete completa, determinare la potenza $P_{R4}$ entrante in $R_4$.

Figura (descritta). Filo in alto = A, filo in basso = B. Tra i due fili, da sinistra, nel riquadro: un ramo con $E_1$ (in alto, $+$ verso A) e $R_1$; un ramo con $E_2$ (in alto, $-$ verso A, $+$ verso il basso) e $R_2$; il GIC $J_3$ (freccia in su, verso A); il resistore $R_3$. Fuori dal riquadro, $R_4$ tra A e B.

Risultati: $R_{eq} = 10\ \Omega$, $J_{eq} = 1\ \mathrm A$, $P_{R4} = \dfrac52\ \mathrm W$.

Teoria: Teoremi di Thévenin e di NortonUna rete resistiva lineare vista da due morsetti equivale (Thévenin) a un GIT in serie a un resistore: la f.e.m. è la tensione a vuoto v_0 e il resistore è la resistenza interna R_eq, cioè la resistenza vista dai morsetti con tutti i generatori indipendenti spenti. Equivale anche (Norton) a un GIC in parallelo a un resistore: la corrente è quella di cortocircuito i_cc e la conduttanza è G_eq = 1/R_eq. Vale R_eq = v_0 / i_cc.Teoremi di Thévenin e di Norton →.

1. Resistenza equivalente

Generatori spenti: restano $R_1$, $R_2$, $R_3$, tutti tra A e B (il ramo di $J_3$ è aperto):

$$G_{eq} = \frac{1}{30} + \frac{1}{30} + \frac{1}{30} = \frac{1}{10}\ \mathrm S \qquad\Longrightarrow\qquad R_{eq} = 10\ \Omega$$

2. Corrente di cortocircuito

Con A e B cortocircuitati ogni ramo ha ai suoi capi tensione zero, e quindi si calcola da solo:

• ramo $E_1$–$R_1$: la LKT sul ramo dà $V_{R1} = E_1$, quindi $I_1 = E_1/R_1 = 2\ \mathrm A$, che esce dal $+$ di $E_1$ ed entra in A;
• ramo $E_2$–$R_2$: $I_2 = E_2/R_2 = 5\ \mathrm A$, che esce dal $+$ di $E_2$ (in basso) e scende verso B: questa corrente esce da A;
• $J_3$: porta $4\ \mathrm A$ in A;
• $R_3$: tensione nulla, corrente nulla.

LKC in A (la corrente che esce dalla rete verso il cortocircuito è $I_{cc}$):

$$I_{cc} = I_1 - I_2 + J_3 = 2 - 5 + 4 = 1\ \mathrm A$$

Il cortocircuito disaccoppia i ramiCon tensione nulla ai capi, ogni ramo in parallelo alla porta ha una corrente che dipende solo da lui: E/R per un ramo GIT-R, J per un GIC, zero per un resistore.: per questo con rami in parallelo Norton è particolarmente comodo.

3. Potenza in $R_4$

Equivalente di Norton: $J_{eq} = 1\ \mathrm A$ (verso A) in parallelo a $10\ \Omega$. Con $R_4 = 10\ \Omega$:

$$V_{AB} = J_{eq}\, (R_{eq} \parallel R_4) = 1 \cdot 5 = 5\ \mathrm V, \qquad \boxed{P_{R4} = \frac{V_{AB}^2}{R_4} = \frac{25}{10} = 2{,}5\ \mathrm W}$$

Controllo con Millman (tutti i rami tra A e B, $E_2$ con il segno meno perché ha il $+$ verso B):

$$V_{AB} = \frac{\frac{60}{30} - \frac{150}{30} + 4}{\frac{1}{30} + \frac{1}{30} + \frac{1}{30} + \frac{1}{10}} = \frac{1}{0{,}2} = 5\ \mathrm V \ ✓$$

Il numeratore di Millman è proprio $I_{cc}$, il denominatore $G_{eq} + G_4$: Millman è Norton applicato a tutti i rami insieme.