Esercizio 1.34 - correnti di anello con un GIC

Testo (Eserciziario, es. 1.34). Rete a regime stazionario con $J = 4\ \mathrm A$, $E_1 = 50\ \mathrm V$, $E_2 = 30\ \mathrm V$, $R_1 = R_2 = 10\ \Omega$. Calcolare le potenze $P_{R1}$ e $P_{R2}$ entranti nei due resistori.

Figura (descritta). Filo in alto e filo in basso, collegati da tre rami verticali. Da sinistra: il GIC $J$ con la freccia in su; un ramo con $R_1$ (in alto) ed $E_1$ (in basso, $+$ in alto); un ramo con $R_2$ (in alto) ed $E_2$ (in basso, $+$ in alto).

Risultati: $P_{R1} = 10\ \mathrm W$, $P_{R2} = 90\ \mathrm W$.

Teoria: Metodo delle correnti di anelloPer reti piane: si associa a ogni anello (finestra del disegno) una corrente fittizia che lo percorre tutto, tutte nello stesso verso. Le correnti di lato sono somme algebriche delle correnti di anello, quindi le LKC sono automatiche; si scrivono le ℓ−n+1 LKT sugli anelli, per ispezione: autoresistenza × corrente dell'anello − Σ mutue resistenze × correnti degli anelli vicini = somma delle f.e.m. dei GIT percorsi dal − al +. Ogni GIC senza resistore in parallelo aggiunge come incognita la sua tensione e come equazione il legame tra la sua corrente e le correnti di anello (metodo modificato).Metodo delle correnti di anello →.

1. Impostazione

Rete piana con due anelli (le due "finestre"): correnti di anello $I_{A1}$ (anello di sinistra: $J$ e ramo 1) e $I_{A2}$ (anello di destra: ramo 1 e ramo 2), entrambe orarie.

Il GIC non ha resistori in parallelo: metodo modificato. Si introduce la sua tensione $V_J$ (con il $+$ in alto) come incognita.

2. Il GIC sul bordo esterno

$J$ sta su un lato che appartiene solo all'anello 1. In senso orario, nel lato sinistro l'anello 1 sale, come la freccia di $J$: quindi

$$I_{A1} = J = 4\ \mathrm A$$

Un'incognita è già nota.

3. Le equazioni

Anello 2 (orario: sale nel ramo 1, scende nel ramo 2). Autoresistenza $R_1 + R_2$, mutua resistenza con l'anello 1: $R_1$ (lato in comune). F.e.m.: salendo nel ramo 1 si attraversa $E_1$ dal $-$ al $+$ ($+E_1$); scendendo nel ramo 2 si attraversa $E_2$ dal $+$ al $-$ ($-E_2$).

$$(R_1 + R_2)\, I_{A2} - R_1 I_{A1} = E_1 - E_2 \quad\Longrightarrow\quad 20\, I_{A2} - 40 = 20 \quad\Longrightarrow\quad I_{A2} = 3\ \mathrm A$$

Anello 1 (serve solo per $V_J$): sale in $J$ (dal $-$ al $+$ di $V_J$: $+V_J$), scende nel ramo 1 (attraversa $E_1$ dal $+$ al $-$: $-E_1$):

$$R_1 I_{A1} - R_1 I_{A2} = V_J - E_1 \quad\Longrightarrow\quad 10 \cdot 4 - 10 \cdot 3 = V_J - 50 \quad\Longrightarrow\quad V_J = 60\ \mathrm V$$

4. Correnti e potenze

• In $R_1$ (lato in comune) passano le due correnti di anello in versi opposti: verso il basso $I_{R1} = I_{A1} - I_{A2} = 1\ \mathrm A$.
• In $R_2$ passa solo l'anello 2, verso il basso: $I_{R2} = I_{A2} = 3\ \mathrm A$.

$$\boxed{P_{R1} = R_1 I_{R1}^2 = 10\ \mathrm W, \qquad P_{R2} = R_2 I_{R2}^2 = 90\ \mathrm W}$$

Verifica. $J$ eroga $V_J J = 240\ \mathrm W$. Nel ramo 1 la corrente scende ($1\ \mathrm A$) ed entra nel $+$ di $E_1$: $E_1$ assorbe $50\ \mathrm W$. Nel ramo 2 scendono $3\ \mathrm A$ ed entrano nel $+$ di $E_2$: assorbe $90\ \mathrm W$. Bilancio: $240 = 10 + 90 + 50 + 90$ ✓.

Due GIT che assorbonoUn GIT assorbe potenza quando la corrente entra dal suo morsetto +: è come una batteria sotto carica.: qui è il GIC che "ricarica" entrambi i GIT.