Esercizio 1.14 - parallelo di due resistori e partitore di corrente

Testo (Eserciziario, es. 1.14). Rete in regime stazionario: un bipolo adinamico $b_1$ è collegato a due resistori in parallelo, con $R_1 = 10\ \Omega$, $R_2 = 40\ \Omega$, $I_p = 10\ \mathrm A$. Calcolare:

1. la resistenza $R_p$ equivalente al parallelo di $R_1$ e $R_2$;
2. le correnti $I_1$ e $I_2$.

Figura (descritta). $b_1$ a sinistra; $I_p$ esce dal suo morsetto superiore ed entra nel filo superiore, a cui sono appesi $R_1$ e $R_2$ in verticale; il filo inferiore torna a $b_1$. $V_p$ ha il $+$ in alto. $I_1$ e $I_2$ sono prese verso il basso nei due resistori.

Risultati: $R_p = 8\ \Omega$, $I_1 = 8\ \mathrm A$, $I_2 = 2\ \mathrm A$.

Teoria: Serie e parallelo di bipoliDue bipoli sono in serie se hanno un nodo in comune a cui non è collegato nient'altro: stessa corrente, le tensioni si sommano. Sono in parallelo se sono collegati alla stessa coppia di nodi: stessa tensione, le correnti si sommano. Resistori in serie: R_s = somma delle R; in parallelo: G_p = somma delle G (per due, R1R2/(R1+R2)). GIT in serie e GIC in parallelo si sommano algebricamente; GIC in serie a qualunque cosa resta un GIC, GIT in parallelo a qualunque cosa resta un GIT.Serie e parallelo di bipoli →, Partitori di tensione e di correnteIn una serie di resistori la tensione totale si divide in proporzione alle resistenze: v_k = R_k/R_s · v_s (per due: v_1 = R_1/(R_1+R_2) · v_s). In un parallelo la corrente totale si divide in proporzione alle conduttanze: i_k = G_k/G_p · i_p (per due: i_1 = R_2/(R_1+R_2) · i_p, con la resistenza dell'altro ramo al numeratore). Le formule valgono con i riferimenti "naturali": se il riferimento chiesto è opposto, si cambia segno.Partitori di tensione e di corrente →.

1. Resistenza equivalente

$R_1$ e $R_2$ sono collegati agli stessi due nodi (filo superiore e filo inferiore): sono in parallelo. Si sommano le conduttanze:

$$G_p = G_1 + G_2 = \frac{1}{10} + \frac{1}{40} = \frac{4}{40} + \frac{1}{40} = \frac{5}{40} = \frac18\ \mathrm S \qquad\Longrightarrow\qquad R_p = \frac{1}{G_p} = 8\ \Omega$$

Con la formula per due resistori ("prodotto diviso somma"): $R_p = \dfrac{10 \cdot 40}{10 + 40} = \dfrac{400}{50} = 8\ \Omega$, lo stesso.

Controllo di buon senso: $8\ \Omega$ è minore di entrambe le resistenze, come deve essere per un parallelo.

2. Le correnti con il partitore

I riferimenti di $I_1$ e $I_2$ (dal nodo superiore verso quello inferiore) sono concordi con $I_p$ (che entra nel nodo superiore), quindi il partitore di correnteLa corrente totale si divide in proporzione alle conduttanze: con due resistori, I_1 = R_2/(R_1+R_2) · I_p.Partitori di tensione e di corrente → si applica senza segni meno:

$$I_1 = \frac{G_1}{G_p}\, I_p = \frac{1/10}{1/8} \cdot 10 = \frac{8}{10} \cdot 10 = 8\ \mathrm A$$

$$I_2 = \frac{G_2}{G_p}\, I_p = \frac{1/40}{1/8} \cdot 10 = \frac{8}{40} \cdot 10 = 2\ \mathrm A$$

Con le resistenze (formula per due rami, resistenza dell'altro ramo al numeratore):

$$I_1 = \frac{R_2}{R_1 + R_2}\, I_p = \frac{40}{50} \cdot 10 = 8\ \mathrm A, \qquad I_2 = \frac{R_1}{R_1 + R_2}\, I_p = \frac{10}{50} \cdot 10 = 2\ \mathrm A$$

Controlli.

• LKC: $I_1 + I_2 = 10\ \mathrm A = I_p$ ✓.
• La corrente maggiore va nel ramo con resistenza minore ($R_1$) ✓.
• Tensione comune: $V_p = R_p I_p = 80\ \mathrm V$, e infatti $R_1 I_1 = 80$, $R_2 I_2 = 80$ ✓.