Esercizio 1.55 - Thévenin in due passi e voltmetro

Testo (Eserciziario, es. 1.55). Rete a regime stazionario con $J = 8\ \mathrm A$, $E_1 = 200\ \mathrm V$, $E_2 = 160\ \mathrm V$, $R_1 = 20\ \Omega$, $R_2 = 5\ \Omega$, $R_3 = 60\ \Omega$, $R_4 = 20\ \Omega$.

1. Della rete a destra della porta AB determinare $R_{eq}$ e la tensione a vuoto $V_{AB0}$ (con il $+$ su A).
2. Per la rete completa, determinare il valore $V_V$ misurato dal voltmetro ideale.

Figura (descritta). A sinistra della porta: $R_1$ tra A (in alto) e B (in basso) e il voltmetro in parallelo ($-$ in alto, $+$ in basso). A destra:

Risultati: $R_{eq} = 20\ \Omega$, $V_{AB0} = 280\ \mathrm V$, $V_V = -140\ \mathrm V$.

Teoria: Teoremi di Thévenin e di NortonUna rete resistiva lineare vista da due morsetti equivale (Thévenin) a un GIT in serie a un resistore: la f.e.m. è la tensione a vuoto v_0 e il resistore è la resistenza interna R_eq, cioè la resistenza vista dai morsetti con tutti i generatori indipendenti spenti. Equivale anche (Norton) a un GIC in parallelo a un resistore: la corrente è quella di cortocircuito i_cc e la conduttanza è G_eq = 1/R_eq. Vale R_eq = v_0 / i_cc.Teoremi di Thévenin e di Norton →.

1. Primo passo: porta D–F

I tre rami verticali tra D (in alto) e F (in basso) si sostituiscono con il loro equivalente di Thévenin.

Resistenza (generatori spenti, $J$ sparisce): $R_{DF,eq} = R_3 \parallel R_4 = \dfrac{60 \cdot 20}{80} = 15\ \Omega$.

Tensione a vuoto $V_{DF0}$ (con il $+$ su D):

• solo $E_2$ ($J$ aperto): maglia $E_2$, $R_3$, $R_4$; il $+$ di $E_2$ è verso F, quindi la corrente sale in $R_4$ da F a D: $V' = -E_2 \dfrac{R_4}{R_3 + R_4} = -160 \cdot \dfrac{20}{80} = -40\ \mathrm V$;
• solo $J$ ($E_2$ in cortocircuito): $J$ porta $8\ \mathrm A$ in D, che tornano a F attraverso $R_3 \parallel R_4 = 15\ \Omega$: $V'' = 120\ \mathrm V$.

$$V_{DF0} = -40 + 120 = 80\ \mathrm V$$

2. Secondo passo: porta A–B

La parte destra ora è: da A, il GIT $E_1$ ($+$ verso A) fino a D; tra D e F il generatore equivalente ($80\ \mathrm V$, $+$ verso D, con $15\ \Omega$); da F, $R_2$ fino a B.

• Resistenza: spegnendo i due GIT restano $15 + 5$ in serie: $R_{eq} = 20\ \Omega$.
• Tensione a vuoto: con la porta aperta non passa corrente né nel resistore da $15\ \Omega$ né in $R_2$. Percorrendo da B ad A: $R_2$ ($0\ \mathrm V$), da F a D il GIT equivalente ($+80\ \mathrm V$), da D ad A il GIT $E_1$ ($+200\ \mathrm V$, perché il suo $+$ è verso A).

$$V_{AB0} = E_1 + V_{DF0} = 200 + 80 = 280\ \mathrm V$$

3. Il voltmetro

Il voltmetro è un circuito aperto: a sinistra della porta resta solo $R_1$. Partitore tra $R_{eq}$ e $R_1$:

$$V_{AB} = V_{AB0}\, \frac{R_1}{R_{eq} + R_1} = 280 \cdot \frac{20}{40} = 140\ \mathrm V$$

Il voltmetro ha il $+$ su B: misura $U_B - U_A = -V_{AB}$.

$$\boxed{V_V = -140\ \mathrm V}$$

I due GIT in serie si sommanoTra A e D c'è E1 e tra D e F c'è il GIT equivalente: a vuoto le loro tensioni si sommano come in una serie di GIT. perché a vuoto i resistori non hanno tensione.