Esercizio 1.16 - parallelo di più resistori

Testo (Eserciziario, es. 1.16). Rete in regime stazionario: un bipolo adinamico $b_1$ è collegato a $\ell = 4$ resistori in parallelo, $R_1 = 40\ \Omega$, $R_2 = 40\ \Omega$, $R_3 = 30\ \Omega$, $R_4 = 60\ \Omega$, con $I_p = 60\ \mathrm A$ entrante nel nodo superiore. Calcolare:

1. la resistenza $R_p$ equivalente al parallelo;
2. le correnti $I_1$, $I_2$, $I_3$, $I_4$.

Figura (descritta). I quattro resistori sono appesi tra il filo superiore e quello inferiore. $I_1$, $I_2$, $I_3$ sono prese verso il basso; $I_4$ è presa verso l'alto.

Risultati: $R_p = 10\ \Omega$; $I_1 = 15\ \mathrm A$, $I_2 = 15\ \mathrm A$, $I_3 = 20\ \mathrm A$, $I_4 = -10\ \mathrm A$.

Teoria: Serie e parallelo di bipoliDue bipoli sono in serie se hanno un nodo in comune a cui non è collegato nient'altro: stessa corrente, le tensioni si sommano. Sono in parallelo se sono collegati alla stessa coppia di nodi: stessa tensione, le correnti si sommano. Resistori in serie: R_s = somma delle R; in parallelo: G_p = somma delle G (per due, R1R2/(R1+R2)). GIT in serie e GIC in parallelo si sommano algebricamente; GIC in serie a qualunque cosa resta un GIC, GIT in parallelo a qualunque cosa resta un GIT.Serie e parallelo di bipoli →, Partitori di tensione e di correnteIn una serie di resistori la tensione totale si divide in proporzione alle resistenze: v_k = R_k/R_s · v_s (per due: v_1 = R_1/(R_1+R_2) · v_s). In un parallelo la corrente totale si divide in proporzione alle conduttanze: i_k = G_k/G_p · i_p (per due: i_1 = R_2/(R_1+R_2) · i_p, con la resistenza dell'altro ramo al numeratore). Le formule valgono con i riferimenti "naturali": se il riferimento chiesto è opposto, si cambia segno.Partitori di tensione e di corrente →.

1. Resistenza equivalente

Con più di due resistori si sommano le conduttanze. Il denominatore comune di 40, 30 e 60 è 120:

$$G_p = \frac{1}{40} + \frac{1}{40} + \frac{1}{30} + \frac{1}{60} = \frac{3 + 3 + 4 + 2}{120} = \frac{12}{120} = \frac{1}{10}\ \mathrm S \qquad\Longrightarrow\qquad R_p = 10\ \Omega$$

Altro modo: due alla volta. $R_1 \parallel R_2$: due resistori uguali da $40\ \Omega$ danno la metà, $20\ \Omega$. $R_3 \parallel R_4 = \frac{30 \cdot 60}{90} = 20\ \Omega$. Infine $20 \parallel 20 = 10\ \Omega$. Stesso risultato. ("Prodotto diviso somma" si può usare solo due resistori alla volta.)

2. Le correnti

Tensione comune: $V_p = R_p I_p = 10 \cdot 60 = 600\ \mathrm V$. Con il partitore di correnteI_k = G_k/G_p · I_p, valido con I_k concorde con I_p (dal nodo dove entra I_p verso l'altro).Partitori di tensione e di corrente →, che equivale a fare $I_k = V_p / R_k$:

Perché $I_4$ è negativa. La corrente in $R_4$ scende davvero (dal nodo a $600\ \mathrm V$ verso quello a $0$), ma il testo ha scelto il riferimento verso l'alto: il valore con quel riferimento è $-10\ \mathrm A$. Non è un errore del testo, è un modo per controllare che si sia guardato il verso.

Controllo LKC al nodo superiore (entranti = uscenti): entra $I_p = 60$ ed entra anche $I_4$ (riferimento verso l'alto, cioè verso il nodo), escono $I_1 + I_2 + I_3$:

$$60 + (-10) = 15 + 15 + 20 \quad\Longrightarrow\quad 50 = 50 \ ✓$$