Esercizio 1.24 - resistenza equivalente, resistori uguali

Testo (Eserciziario, es. 1.24). Rete in regime stazionario di resistori tutti uguali, $R = 100\ \Omega$. Calcolare la resistenza equivalente $R_{eq}$ tra A e B.

Figura (descritta). Un filo inferiore che parte da B e arriva fino all'angolo in basso a destra.

Risultato: $R_{eq} = 50\ \Omega$.

Teoria: Resistenza equivalente e trasformazione stella-triangoloUna rete di soli resistori passivi vista da due morsetti A e B equivale a un unico resistore R_eq. Si calcola riducendo la rete con serie e parallelo, partendo dalla parte più lontana dai morsetti. Quando serie e parallelo non bastano (ponti), si usa la trasformazione triangolo→stella (R_A = R_AB·R_CA / somma) o stella→triangolo (R_AB = (R_A R_B + R_B R_C + R_C R_A)/R_C). Con tre resistori uguali R_Δ = 3 R_Y.Resistenza equivalente e trasformazione stella-triangolo →.

1. Riconoscere i nodi

Il passo decisivo è accorgersi che l'angolo in alto a destra è collegato da un filo al filo inferiore, cioè a B. Quindi $R_7$ va da Q a B, esattamente come $R_6$: i due sono in paralleloParallelo vuol dire collegati alla stessa coppia di nodi, qualunque sia la forma del disegno: R6 e R7 vanno entrambi da Q a B., anche se nel disegno uno è verticale e l'altro orizzontale.

$$R_8 = R_6 \parallel R_7 = \frac{100}{2} = 50\ \Omega$$

2. Due serie

• A destra: nel nodo Q arrivano ora solo $R_5$ (da A) e $R_8$ (verso B): serie, $R_9 = R_5 + R_8 = 100 + 50 = 150\ \Omega$ tra A e B.
• A sinistra: il percorso A → P → L → B passa per $R_2$, $R_1$, $R_3$, con nodi P e L senza altri collegamenti: serie, $R_{10} = 3 \cdot 100 = 300\ \Omega$ tra A e B.

3. Tre resistori in parallelo

Tra A e B ci sono $R_{10} = 300$, $R_4 = 100$ e $R_9 = 150$. Con le conduttanze (denominatore comune 300):

$$G_{eq} = \frac{1}{100} + \frac{1}{150} + \frac{1}{300} = \frac{3 + 2 + 1}{300} = \frac{6}{300} = \frac{1}{50}\ \mathrm S \qquad\Longrightarrow\qquad \boxed{R_{eq} = 50\ \Omega}$$

Controllo: $50\ \Omega$ è minore del più piccolo dei tre ($100\ \Omega$) ✓.

Errori comuni

• Vedere $R_7$ "in serie" a $R_5$ perché sono allineati in alto: nel nodo Q arriva anche $R_6$, e l'altro capo di $R_7$ è su B, non su un nodo libero.
• Cercare di usare il fatto che i resistori sono uguali per "indovinare" simmetrie: qui la rete non è simmetrica rispetto ad A e B, e bisogna fare i conti.