Teoremi di Thévenin e di Norton

Dispensa, paragrafi 10.8 e 10.9. Generalizzano l'Equivalenza tra generatore reale di tensione e di correnteUn GIT e in serie a un resistore R_s ha la stessa caratteristica di un GIC j in parallelo a una conduttanza G_p se G_p = 1/R_s e j = e/R_s (viceversa e = j/G_p = j·R). Il verso conta: la freccia del GIC punta verso il morsetto + del GIT. L'equivalenza vale solo verso l'esterno e non esiste per il GIT da solo (R_s = 0) né per il GIC da solo (G_p = 0).Equivalenza tra generatore reale di tensione e di corrente → a una rete lineare qualsiasi. La dimostrazione usa il Principio di sovrapposizione degli effettiIn una rete lineare (resistori, GIT, GIC) ogni tensione e ogni corrente è combinazione lineare delle impresse dei generatori. Quindi si può calcolarla facendo agire un generatore alla volta, con gli altri spenti (GIT spento = cortocircuito, GIC spento = circuito aperto), e sommando i contributi. Vale per tensioni e correnti, non per le potenze.Principio di sovrapposizione degli effetti → e il Teorema di sostituzioneSe in una rete con soluzione unica si conosce la corrente i_h (o la tensione v_h) di un bipolo, lo si può sostituire con un GIC di corrente i_h (o con un GIT di tensione v_h), con lo stesso riferimento, senza cambiare le altre tensioni e correnti, purché anche la rete modificata abbia soluzione unica. Utile per semplificare: un ramo con corrente nota diventa un GIC, un resistore con corrente nulla diventa un circuito aperto.Teorema di sostituzione →. Applicazione: Teorema del massimo trasferimento di potenzaUna rete con equivalente di Thévenin (e_eq, R_i) cede a un carico resistivo R_u la potenza P = R_u e_eq² / (R_i + R_u)². Al variare di R_u questa potenza è massima per R_u = R_i (carico adattato) e vale P_max = e_eq² / (4 R_i). In quella condizione il rendimento è solo del 50%.Teorema del massimo trasferimento di potenza →.

L'idea

Spesso interessa una sola parte di un circuito, per esempio un carico collegato a due morsetti 1 e 1'. Tutto il resto della rete, per quanto complicato, verso quei due morsetti si comporta come un generatore reale: una retta nel piano tensione-corrente. Basta trovare due numeri per descriverla.

Teorema di Thévenin

Ipotesi. Una rete resistiva lineare (resistori, GIT, GIC) accessibile solo dai morsetti 1 e 1', per la quale sia possibile il funzionamento a vuoto (morsetti aperti).

Tesi. Vista dalla porta 1–1', la rete equivale alla serie di un GIT e di un resistore, con

• f.e.m. $e_{eq} = v_0$: la tensione a vuoto ai morsetti, con il $+$ del GIT dalla parte del $+$ di $v_0$;
• resistenza $R_{eq}$: la resistenza interna, cioè la resistenza vista dai morsetti dopo aver spento tutti i generatori indipendenti della rete (GIT $\to$ cortocircuiti, GIC $\to$ circuiti aperti).

Con la convenzione del generatore alla porta (corrente $i$ uscente dal morsetto con il $+$ di $v$):

$$\boxed{\;v = v_0 - R_{eq}\, i\;}$$

Dimostrazione

Si fa lavorare la porta in un punto qualsiasi $(v, i)$. Per il teorema di sostituzione, si può immaginare che la corrente $i$ sia imposta da un GIC $j = i$ collegato ai morsetti (il carico, qualunque sia, viene sostituito dal GIC). Ora la rete è lineare e si applica la sovrapposizione:

• agiscono i generatori interni, $j$ spento (circuito aperto ai morsetti): la tensione è quella a vuoto, $v' = v_0$;
• agisce solo $j$, generatori interni spenti: la rete è fatta di soli resistori, cioè un resistore $R_{eq}$, e la corrente $j$ esce dal morsetto $+$ della rete: $v'' = -R_{eq}\, j = -R_{eq}\, i$.

Sommando: $v = v_0 - R_{eq}\, i$. I due numeri $v_0$ e $R_{eq}$ dipendono solo dalla rete, non dal punto di lavoro.

Calcolare $R_{eq}$: tre modi

1. Generatori spenti, serie e parallelo. Il modo più usato: si spengono i generatori indipendenti e si calcola la resistenza equivalente vista dai morsetti, come in Resistenza equivalente e trasformazione stella-triangoloUna rete di soli resistori passivi vista da due morsetti A e B equivale a un unico resistore R_eq. Si calcola riducendo la rete con serie e parallelo, partendo dalla parte più lontana dai morsetti. Quando serie e parallelo non bastano (ponti), si usa la trasformazione triangolo→stella (R_A = R_AB·R_CA / somma) o stella→triangolo (R_AB = (R_A R_B + R_B R_C + R_C R_A)/R_C). Con tre resistori uguali R_Δ = 3 R_Y.Resistenza equivalente e trasformazione stella-triangolo →.
2. Rapporto $v_0 / i_cc$. Se è possibile anche il cortocircuito: con $v = 0$ la formula dà $0 = v_0 - R_{eq}\, i_{cc}$, cioè $$R_{eq} = \frac{v_0}{i_{cc}}$$ dove $i_{cc}$ è la corrente di cortocircuito, uscente dal morsetto $+$.
3. Generatore di prova. Generatori interni spenti, si applica ai morsetti un GIT (o un GIC) di prova e si calcola il rapporto tensione/corrente. Indispensabile quando nella rete ci sono generatori pilotati (doppi bipoli).

Calcolare $v_0$

Si toglie tutto ciò che è collegato ai morsetti (corrente di porta nulla) e si calcola la tensione tra 1 e 1' con un metodo qualsiasi: sovrapposizione, partitori, nodi. Un dettaglio che fa risparmiare conti: a vuoto i resistori in serie ai morsetti non hanno corrente, quindi nemmeno tensione, e non contano per $v_0$ (contano invece per $R_{eq}$).

Casi particolari

• Rete fatta solo da un GIT $e$: Thévenin si applica con $v_0 = e$ e $R_{eq} = 0$ (spegnendo il GIT resta un cortocircuito). Ma il cortocircuito non è possibile, quindi $R_{eq}$ non si può calcolare come $v_0/i_{cc}$.
• Rete fatta solo da un GIC $j \ne 0$: il funzionamento a vuoto è impossibile (la corrente non può essere zero), quindi non esiste l'equivalente di Thévenin.

Teorema di Norton

Ipotesi. Come sopra, ma deve essere possibile il funzionamento in cortocircuito.

Tesi. Vista dalla porta 1–1', la rete equivale al parallelo di un GIC e di un resistore, con

• corrente impressa $j_{eq} = i_{cc}$: la corrente di cortocircuito, con la freccia del GIC orientata come $i_{cc}$;
• conduttanza $G_{eq} = 1/R_{eq}$: la stessa resistenza interna di Thévenin.

$$\boxed{\;i = i_{cc} - G_{eq}\, v\;}$$

La dimostrazione è la stessa, imponendo la tensione con un GIT invece della corrente con un GIC. Oppure, più semplicemente: si prende l'equivalente di Thévenin e lo si trasforma con l'equivalenza GIT–R / GIC–G, che dà proprio $j = v_0 / R_{eq} = i_{cc}$.

Casi particolari (speculari a Thévenin): una rete fatta solo da un GIC $j$ ha Norton con $i_{cc} = j$ e $G_{eq} = 0$; una rete fatta solo da un GIT $e \ne 0$ non ha equivalente di Norton (il cortocircuito è impossibile).

Riepilogo

I versi. Il $+$ del GIT di Thévenin va dalla parte del $+$ della tensione a vuoto; la freccia del GIC di Norton va nel verso della corrente di cortocircuito, cioè verso il morsetto da cui esce $i_{cc}$. Se $v_0$ esce negativa, il GIT ha f.e.m. negativa (o, equivalentemente, si gira il simbolo e si cambia segno).

Procedura per gli esercizi

1. Separare la parte di rete da sostituire (di solito il testo la racchiude in un riquadro) dal carico.
2. $R_{eq}$: spegnere i generatori indipendenti della parte da sostituire e ridurre.
3. $v_0$ (oppure $i_{cc}$): con il carico staccato (oppure con i morsetti in cortocircuito).
4. Ricollegare il carico all'equivalente e risolvere il circuito, che ora ha una sola maglia (Thévenin) o due nodi (Norton).

Applicazioni in cascata. Thévenin si può applicare più volte: si sostituisce prima un pezzo interno con il suo equivalente, poi si ripete con la porta successiva (Esercizio 1.54 - Thévenin in due passi e amperometro, Esercizio 1.55 - Thévenin in due passi e voltmetro).

Alternativa senza teorema: spesso l'equivalente si trova anche con una catena di trasformazioni GIT–R $\leftrightarrow$ GIC–G e di serie e paralleli (Esercizio 1.44 - equivalente di Thévenin per trasformazioni).

Errori comuni

• Spegnere i generatori anche per calcolare $v_0$: si spengono solo per $R_{eq}$.
• Lasciare il carico collegato mentre si calcola $v_0$ o $R_{eq}$.
• Includere nella $R_{eq}$ i resistori del carico.
• Sbagliare il verso del GIT o del GIC equivalente.
• Usare l'equivalente per calcolare grandezze interne alla parte sostituita (per esempio la potenza di uno dei suoi generatori): l'equivalenza vale solo verso l'esterno.