Esercizio 1.53 - Thévenin e amperometro

Testo (Eserciziario, es. 1.53). Rete a regime stazionario con $J = 6\ \mathrm A$, $E = 270\ \mathrm V$, $R_1 = 20\ \Omega$, $R_2 = 30\ \Omega$, $R_3 = 10\ \Omega$, $R_4 = 60\ \Omega$, $R_5 = 30\ \Omega$.

1. Della rete a sinistra della porta AB determinare $R_{eq}$ e la tensione a vuoto $V_{AB0}$ (con il $+$ su A).
2. Per la rete completa, determinare il valore $I_A$ misurato dall'amperometro ideale.

Figura (descritta). Filo in basso = B; nodo T = filo in alto a sinistra.

Risultati: $R_{eq} = 20\ \Omega$, $V_{AB0} = -100\ \mathrm V$, $I_A = 2\ \mathrm A$.

Teoria: Teoremi di Thévenin e di NortonUna rete resistiva lineare vista da due morsetti equivale (Thévenin) a un GIT in serie a un resistore: la f.e.m. è la tensione a vuoto v_0 e il resistore è la resistenza interna R_eq, cioè la resistenza vista dai morsetti con tutti i generatori indipendenti spenti. Equivale anche (Norton) a un GIC in parallelo a un resistore: la corrente è quella di cortocircuito i_cc e la conduttanza è G_eq = 1/R_eq. Vale R_eq = v_0 / i_cc.Teoremi di Thévenin e di Norton →.

1. Resistenza equivalente

Generatori spenti: $E$ cortocircuito, $J$ aperto. Il ramo $R_2$–$J$ diventa un'interruzione e sparisce ($R_2$ è in serie a un circuito aperto). Il ramo $R_1$–$E$ diventa solo $R_1$, tra T e B. Da A: $R_4$ verso B, in parallelo a $R_3 + R_1$:

$$R_{eq} = R_4 \parallel (R_3 + R_1) = \frac{60 \cdot 30}{90} = 20\ \Omega$$

2. Tensione a vuoto (sovrapposizione)

Solo $E$ ($J$ aperto). Maglia $E$, $R_1$, $R_3$, $R_4$. Il $+$ di $E$ è verso B: la corrente esce in B, sale in $R_4$ da B ad A, passa in $R_3$ e $R_1$ e rientra nel $-$:

$$V'_{AB0} = -E\, \frac{R_4}{R_1 + R_3 + R_4} = -270 \cdot \frac{60}{90} = -180\ \mathrm V$$

Solo $J$ ($E$ in cortocircuito). $J$ porta $6\ \mathrm A$ in T (attraverso $R_2$, che è in serie e non cambia la corrente). Da T la corrente torna a B per due vie: $R_1$ ($20\ \Omega$) oppure $R_3 + R_4$ ($70\ \Omega$). Nel ramo $R_3$–$R_4$:

$$I'' = J\, \frac{R_1}{R_1 + R_3 + R_4} = 6 \cdot \frac{20}{90} = \frac43\ \mathrm A, \qquad V''_{AB0} = R_4 I'' = 80\ \mathrm V$$

$$V_{AB0} = -180 + 80 = -100\ \mathrm V$$

3. L'amperometro

L'amperometro è un cortocircuito: fuori dalla porta resta solo $R_5$ tra A e B. Con l'equivalente di Thévenin ($-100\ \mathrm V$ con il $+$ su A, cioè $100\ \mathrm V$ con il $+$ su B, in serie a $20\ \Omega$):

• la corrente nel ramo esterno, da A verso B attraverso $R_5$, vale $\dfrac{V_{AB0}}{R_{eq} + R_5} = \dfrac{-100}{50} = -2\ \mathrm A$;
• cioè $2\ \mathrm A$ scorrono da B verso A nel ramo esterno, quindi nell'amperometro dal basso verso l'alto.

L'amperometro misura dal suo $+$ (in basso) al suo $-$ (in alto): stesso verso.

$$\boxed{I_A = 2\ \mathrm A}$$

R2 non contaÈ in serie al GIC J: la corrente del ramo è comunque J, e verso il resto della rete il ramo si comporta come il solo GIC. in nessuno dei passaggi: serve solo a confondere.