Analisi nodale (metodo dei potenziali ai nodi)

Dispensa, capitolo 10 ("Analisi dei circuiti resistivi lineari"), paragrafi 10.1–10.3 e 10.11. Si basa su Leggi di Kirchhoff (LKC e LKT)LKC: in ogni istante la somma algebrica delle correnti che attraversano una superficie chiusa (per esempio attorno a un nodo) è zero. LKT: in ogni istante la somma algebrica delle tensioni lungo un percorso chiuso che tocca solo nodi (per esempio una maglia) è zero. Dipendono solo da come sono collegati i componenti.Leggi di Kirchhoff (LKC e LKT) → e Grafo di una rete ed equazioni indipendentiIl grafo di una rete tiene solo i collegamenti (nodi e lati). Scelto un albero (n−1 lati, connesso, senza maglie), ogni lato di coalbero dà una LKT indipendente e ogni lato d'albero una LKC indipendente: in totale ℓ − n + 1 LKT e n − 1 LKC, che con le ℓ equazioni dei bipoli fanno 2ℓ equazioni per 2ℓ incognite.Grafo di una rete ed equazioni indipendenti →. Il metodo "gemello" è il Metodo delle correnti di anelloPer reti piane: si associa a ogni anello (finestra del disegno) una corrente fittizia che lo percorre tutto, tutte nello stesso verso. Le correnti di lato sono somme algebriche delle correnti di anello, quindi le LKC sono automatiche; si scrivono le ℓ−n+1 LKT sugli anelli, per ispezione: autoresistenza × corrente dell'anello − Σ mutue resistenze × correnti degli anelli vicini = somma delle f.e.m. dei GIT percorsi dal − al +. Ogni GIC senza resistore in parallelo aggiunge come incognita la sua tensione e come equazione il legame tra la sua corrente e le correnti di anello (metodo modificato).Metodo delle correnti di anello →.

Il problema: troppe equazioni

Una rete con $\ell$ lati e $n$ nodi si risolve, in linea di principio, con il sistema di $2\ell$ equazioni in $2\ell$ incognite ($\ell$ tensioni e $\ell$ correnti): $n - 1$ LKC, $\ell - n + 1$ LKT e $\ell$ equazioni dei bipoli. Se i bipoli sono resistori, GIT e GIC (rete resistiva lineare), il sistema è lineare:

$$M\,x = g, \qquad x = \begin{bmatrix} v \\ i \end{bmatrix}$$

con $M$ fatta di $+1$, $0$, $-1$, $-R_h$, $-G_h$ e $g$ fatto di zeri e delle impresse $e_h$, $j_h$. Le impresse si chiamano ingressi, le tensioni e correnti incognite uscite.

Anche una rete piccola dà molte equazioni: con 3 nodi e 4 lati servono già 8 equazioni. I metodi di analisi servono a ridurre il numero di incognite usando grandezze ausiliarie scelte in modo che una parte delle leggi di Kirchhoff sia soddisfatta automaticamente.

L'idea dell'analisi nodale

Si sceglie un nodo come nodo di riferimento (o "di massa") e gli si assegna potenziale zero. Agli altri $n - 1$ nodi si associa un potenziale incognito $u_1, \dots, u_{n-1}$.

Perché funziona. Ogni tensione tra due nodi si scrive come differenza di potenziali, $v_{hk} = u_h - u_k$. Scritte così, le tensioni soddisfano automaticamente tutte le LKT: lungo un giro chiuso ogni potenziale compare una volta con il $+$ e una con il $-$, e la somma fa zero. Restano da imporre solo le LKC, che sono $n - 1$: tante quante le incognite.

Il potenziale di un nodo coincide con la tensione di nodo: la tensione tra quel nodo ($+$) e il riferimento ($-$).

Il metodo su un esempio (solo resistori e GIC)

Rete con tre nodi: nodo 3 di riferimento; $R_1$ tra 1 e 3, $R_2$ tra 2 e 3, $R_3$ tra 1 e 2; un GIC $j_1$ che porta corrente dal nodo 2 al nodo 1, un GIC $j_2$ che porta corrente dal nodo 3 al nodo 2. È la rete di Esercizio 1.29 - analisi nodale con due GIC.

1. LKC ai nodi 1 e 2, con il $+$ alle correnti uscenti:

$$\begin{cases} i_1 + i_3 - j_1 = 0 & \text{(nodo 1: esce in } R_1 \text{ e in } R_3\text{, entra } j_1\text{)} \\ i_2 - i_3 + j_1 - j_2 = 0 & \text{(nodo 2)} \end{cases}$$

2. Correnti dei resistori come conduttanza per tensione ($i = G\,v$, convenzione dell'utilizzatore) e impresse a destra:

$$\begin{cases} G_1 v_1 + G_3 v_3 = j_1 \\ G_2 v_2 - G_3 v_3 = -j_1 + j_2 \end{cases}$$

3. Tensioni come differenze di potenziale: $v_1 = u_1 - 0$, $v_2 = u_2 - 0$, $v_3 = u_1 - u_2$:

$$\begin{cases} (G_1 + G_3)\, u_1 - G_3\, u_2 = j_1 \\ -G_3\, u_1 + (G_2 + G_3)\, u_2 = -j_1 + j_2 \end{cases}$$

Due equazioni nei due potenziali. Risolto il sistema, ogni tensione è una differenza di potenziali e ogni corrente di resistore è $G \cdot v$.

La regola pratica (scrittura per ispezione)

Guardando il sistema dell'esempio si vede una struttura fissa. Per il nodo $h$:

$$\boxed{\;G_{hh}\, u_h - \sum_{k \ne h} G_{hk}\, u_k = j_h\;}$$

• autoconduttanza $G_{hh}$: somma delle conduttanze di tutti i resistori collegati al nodo $h$;
• mutua conduttanza $G_{hk}$: somma delle conduttanze dei resistori collegati direttamente tra $h$ e $k$ (zero se non ce ne sono);
• corrente impressa di nodo $j_h$: somma algebrica delle correnti dei GIC collegati al nodo $h$, con il $+$ se la freccia entra nel nodo e il $-$ se esce.

Da dove viene la regola. Il termine $G_{hh} u_h - \sum G_{hk} u_k$ è la somma delle correnti che escono dal nodo $h$ attraverso i resistori: ogni resistore tra $h$ e $k$ porta fuori $G\,(u_h - u_k)$. Il termine $j_h$ è la corrente che i GIC portano dentro. L'equazione dice "uscente nei resistori = entrante dai generatori": è la LKC.

Con la regola non serve fissare riferimenti su nessun bipolo: basta guardare il verso delle frecce dei GIC.

In forma matriciale: $\tilde G\, u = \tilde j$, dove la matrice di conduttanza di nodo $\tilde G$ ha le autoconduttanze sulla diagonale e le mutue conduttanze, cambiate di segno, fuori diagonale. È simmetrica ($G_{hk} = G_{kh}$, perché il resistore tra $h$ e $k$ è lo stesso visto dai due lati): un buon controllo dopo averla scritta.

Due consigli.

• Scegliere bene il riferimento: il nodo con più collegamenti, oppure un estremo di un GIT (vedi sotto), così un potenziale è già noto.
• Semplificare prima: i resistori in parallelo si possono sommare subito (conduttanze), quelli in serie vanno ridotti prima, perché il nodo intermedio aggiungerebbe un'incognita inutile. I rami "GIT in serie a R" si trasformano in "GIC in parallelo a R" (Equivalenza tra generatore reale di tensione e di correnteUn GIT e in serie a un resistore R_s ha la stessa caratteristica di un GIC j in parallelo a una conduttanza G_p se G_p = 1/R_s e j = e/R_s (viceversa e = j/G_p = j·R). Il verso conta: la freccia del GIC punta verso il morsetto + del GIT. L'equivalenza vale solo verso l'esterno e non esiste per il GIT da solo (R_s = 0) né per il GIC da solo (G_p = 0).Equivalenza tra generatore reale di tensione e di corrente →), che la regola gestisce direttamente.

Analisi nodale modificata (MNA): reti con GIT

Un GIT senza resistore in serie è un problema: la sua corrente non si può scrivere come $G \cdot v$. L'analisi nodale modificata (in inglese MNA, modified nodal analysis) lo risolve così:

1. per ogni GIT si introduce come incognita in più la sua corrente $i_e$ (verso scelto a piacere, di solito uscente dal $+$);
2. nelle LKC si tratta il GIT come se fosse un GIC di corrente $i_e$: compare nel termine noto del nodo con il $+$ se $i_e$ entra nel nodo, con il $-$ se esce;
3. per ogni GIT si aggiunge la sua equazione, scritta con i potenziali: $u_+ - u_- = e$.

Il sistema ha $(n - 1) + s$ equazioni e incognite, con $s$ numero dei GIT. È il metodo usato dai simulatori circuitali (SPICE e simili).

Esempio (rete di Esercizio 1.32 - analisi nodale modificata con un GIT): quattro nodi, nodo 4 di riferimento, GIT $e_2$ con il $-$ sul nodo 2 e il $+$ sul nodo 3, corrente $i_{e2}$ che esce dal $+$ (entra nel nodo 3, esce dal nodo 2):

$$\begin{cases} (G_1 + G_4)\, u_1 - G_1 u_2 - G_4 u_3 = j_1 \\ -G_1 u_1 + (G_1 + G_2)\, u_2 = -i_{e2} \\ -G_4 u_1 + (G_3 + G_4)\, u_3 = +i_{e2} \\ u_3 - u_2 = e_2 \end{cases}$$

Trucco per i conti. Sommando le due equazioni dei nodi collegati dal GIT, $i_{e2}$ si cancella. L'equazione che si ottiene è la LKC scritta su una superficie che racchiude entrambi i nodi e il GIT (in molti testi si chiama supernodoSuperficie chiusa che racchiude un GIT e i suoi due nodi: la LKC su di essa non contiene la corrente del GIT.). Con l'equazione del GIT si hanno così due equazioni senza la corrente incognita.

Scelta furba del riferimento. Se si mette il riferimento su un morsetto del GIT, il potenziale dell'altro morsetto è noto ($\pm e$) e un'incognita sparisce subito (Esercizio 1.30 - analisi nodale modificata, rete a ponte, Esercizio 1.31 - analisi nodale modificata con due GIC).

Formula di Millman

Caso particolare frequentissimo: due soli nodi, collegati da tanti rami in parallelo, ciascuno fatto da un GIT $E_k$ in serie a un resistore $R_k$ (oppure solo da un resistore, $E_k = 0$, o da un GIC $J_k$). Con un nodo di riferimento resta un'unica equazione nodale, e la tensione tra i due nodi è

$$\boxed{\;V = \frac{\displaystyle\sum_k \frac{E_k}{R_k} + \sum J_k}{\displaystyle\sum_k \frac{1}{R_k}}\;}$$

(i rami con solo GIC non contano al denominatore). Da dove viene: ogni ramo $E_k$–$R_k$ diventa un GIC $E_k/R_k$ in parallelo a $G_k$; i GIC si sommano e le conduttanze si sommano; la tensione è "corrente totale diviso conduttanza totale". I segni: $E_k$ con il $+$ se il suo $+$ è verso il nodo di cui si cerca il potenziale, $J_k$ con il $+$ se la freccia entra in quel nodo.

Esempio: tre rami tra A e B: $20\ \mathrm V$ con $10\ \Omega$, $40\ \mathrm V$ con $10\ \Omega$, $80\ \mathrm V$ con $10\ \Omega$ (tutti con il $+$ verso A), più un resistore da $10\ \Omega$. Allora

$$V_{AB} = \frac{2 + 4 + 8}{0{,}1 \cdot 4} = \frac{14}{0{,}4} = 35\ \mathrm V$$

che è proprio il potenziale del nodo C in Esercizio 1.8 - rete con tre generatori e quattro resistori, ottenuto lì con un sistema di 14 equazioni.

Il metodo di tableau

Per l'elaborazione automatica si usa anche la formulazione di tableau: si tengono tutte le incognite (correnti di lato $i$, tensioni di lato $v$, potenziali $u$) e si scrivono, con la matrice di incidenza ridotta $A$,

$$A\,i = 0 \ \text{(LKC)}, \qquad v - A^T u = 0 \ \text{(LKT)}, \qquad R\,i + G\,v = s \ \text{(bipoli)}$$

cioè $2\ell + n - 1$ equazioni. Il sistema è grande ma sparso (pochi coefficienti non nulli) e si costruisce senza dover trovare le maglie: è adatto al calcolatore, non al calcolo a mano. Se la matrice è singolare, spesso il modello del circuito è sbagliato (per esempio un generatore reale modellato con un GIT da solo messo in parallelo a un altro GIT).

Errori comuni

• Segno della corrente impressa: nella regola pratica i GIC entranti nel nodo vanno a destra con il $+$.
• Dimenticare un resistore nell'autoconduttanza o mettere nella mutua conduttanza un resistore che non collega direttamente i due nodi.
• Scrivere la LKC anche sul nodo di riferimento: sarebbe dipendente dalle altre.
• Trattare un GIT con la regola dei GIC senza aggiungere l'equazione $u_+ - u_- = e$.
• Calcolare la potenza di un generatore sulla rete trasformata (dopo aver sostituito GIT–R con GIC–G): va calcolata sulla rete originale (Esercizio 1.33 - analisi nodale modificata con più generatori).