Esercizio 1.42 - sostituzione e amperometro

Testo (Eserciziario, es. 1.42). Rete a regime stazionario con $J = 4\ \mathrm A$, $E = 60\ \mathrm V$, $R_1 = 20\ \Omega$, $R_2 = 40\ \Omega$, $R_3 = 20\ \Omega$ (il testo dà anche $R_4 = 40\ \Omega$, che però non compare nella figura). Calcolare il valore $I_A$ misurato dall'amperometro ideale.

Figura (descritta). Filo in alto (nodo T) e filo in basso (nodo B). Rami verticali tra T e B, da sinistra: $R_1$ in serie al GIC $J$ (freccia in su, verso T); $R_2$; l'amperometro, con il morsetto $-$ in alto e il $+$ in basso. Poi, dal nodo T, $R_3$ va verso destra fino all'angolo in alto a destra, da cui scende il GIT $E$ ($+$ in alto) fino a B.

Risultato: $I_A = -7\ \mathrm A$.

Teoria: Teorema di sostituzioneSe in una rete con soluzione unica si conosce la corrente i_h (o la tensione v_h) di un bipolo, lo si può sostituire con un GIC di corrente i_h (o con un GIT di tensione v_h), con lo stesso riferimento, senza cambiare le altre tensioni e correnti, purché anche la rete modificata abbia soluzione unica. Utile per semplificare: un ramo con corrente nota diventa un GIC, un resistore con corrente nulla diventa un circuito aperto.Teorema di sostituzione →.

1. L'amperometro

Un amperometro ideale è un cortocircuito: T e B diventano lo stesso nodo. Misura la corrente che lo attraversa dal suo $+$ al suo $-$, cioè dal basso verso l'alto.

2. Due sostituzioni

Il ramo $J$–$R_1$. La serie di $J$ e $R_1$ è un bipolo di cui si conosce la corrente: è $J$, imposta dal GIC. Per il teorema di sostituzione si può sostituire l'intero ramo con un GIC $J_1 = J = 4\ \mathrm A$ (stesso verso, verso T). In questo caso è anche l'equivalenza della serie (GIC in serie a qualsiasi bipoloIl GIC impone la corrente a tutta la serie: verso l'esterno l'insieme si comporta come lo stesso GIC.Serie e parallelo di bipoli →).

Il resistore $R_2$. Con T e B cortocircuitati, $R_2$ ha tensione nulla e quindi corrente nulla. Un bipolo con corrente nulla si può sostituire con un GIC di corrente zero, cioè con un circuito aperto: si toglie.

3. La rete che resta

Restano il GIC $J_1$, l'amperometro (un filo) e il ramo $R_3$–$E$, tutti tra T e B.

• Ramo $R_3$–$E$: la tensione tra l'angolo in alto a destra e B è $E$; siccome T coincide con B, su $R_3$ c'è tutta la tensione $E$, con il $+$ dalla parte del GIT. La corrente in $R_3$ va dall'angolo verso T: $$I_3 = \frac{E}{R_3} = \frac{60}{20} = 3\ \mathrm A \quad \text{(entra in T)}$$
• LKC al nodo T: entrano $J_1 = 4\ \mathrm A$ (dal ramo di sinistra) e $I_3 = 3\ \mathrm A$ (da $R_3$); l'unica via d'uscita è l'amperometro, verso il basso. Quindi nell'amperometro passano $7\ \mathrm A$ dall'alto al basso.

Il riferimento dell'amperometro è dal basso verso l'alto: opposto.

$$\boxed{I_A = -7\ \mathrm A}$$

Perché non serviva $R_1$ né $R_2$. $R_1$ è in serie al GIC (non cambia la corrente del ramo) e $R_2$ è cortocircuitato. Il risultato dipende solo da $J$, $E$ e $R_3$.