Esercizio 2.18 - sovrapposizione con un GTPC e un GCPT

Testo (Eserciziario, es. 2.18). Rete in regime stazionario con $R_1 = 10\ \Omega$, $R_2 = 25\ \Omega$, un GIT $E_1 = 6\ \mathrm V$, un GIC $J_1 = 600\ \mathrm{mA}$, un GTPC con $r = 15\ \Omega$ e un GCPT con $g = 40\ \mathrm{mS}$. Calcolare $V_1$ con la sovrapposizione degli effetti.

Figura (descritta). Filo in alto = nodo T, filo in basso = riferimento (0). Nodi interni: M (al centro) e N (a destra, a metà altezza).

Risultato: $V_1 = \frac72\ \mathrm V = 3{,}5\ \mathrm V$.

Teoria: Principio di sovrapposizione degli effettiIn una rete lineare (resistori, GIT, GIC) ogni tensione e ogni corrente è combinazione lineare delle impresse dei generatori. Quindi si può calcolarla facendo agire un generatore alla volta, con gli altri spenti (GIT spento = cortocircuito, GIC spento = circuito aperto), e sommando i contributi. Vale per tensioni e correnti, non per le potenze.Principio di sovrapposizione degli effetti →, Reti con generatori pilotatiUna rete lineare con generatori pilotati si risolve con gli stessi metodi (Kirchhoff, nodi, anelli, sovrapposizione, Thévenin e Norton) aggiungendo un'equazione per ogni pilotato: quella che esprime la grandezza di controllo con le incognite. Nella sovrapposizione si spengono solo i generatori indipendenti; i pilotati restano sempre attivi. La resistenza equivalente non si trova con serie e parallelo: si usa un generatore di prova (R_eq = V*/I* con i generatori indipendenti spenti) oppure il rapporto v_0 / i_cc. Con i pilotati R_eq può venire anche negativa.Reti con generatori pilotati →.

0. Impostazione

I generatori indipendenti sono $E_1$ e $J_1$: si fanno agire uno alla volta. Il GTPC e il GCPT restano sempre accesi. In ogni sottorete conviene usare come incognita $I_1$, perché da essa dipendono entrambi i pilotati ($V_1 = R_1 I_1$).

1. Agisce solo $E_1$ ($J_1$ aperto)

Senza $J_1$ il nodo T ha solo $R_1$ e il GTPC: la corrente $I_1'$ che scende in $R_1$ arriva da M attraverso il GTPC (sale da M a T).

LKC in M. Escono $I_1'$ (verso T) e $g V_1' = g R_1 I_1'$ (verso il basso); entra la corrente da N in $R_2$. Quindi in $R_2$, da N verso M, passa $(1 + g R_1) I_1' = 1{,}4\, I_1'$.

LKT. La tensione $V_N = E_1$ è la somma delle cadute lungo il percorso $N \to R_2 \to M \to \text{GTPC} \to T \to R_1 \to 0$:

$$E_1 = \underbrace{R_2 (1 + gR_1) I_1'}_{N \to M} + \underbrace{r I_1'}_{M \to T} + \underbrace{R_1 I_1'}_{T \to 0} = (35 + 15 + 10)\, I_1' = 60\, I_1'$$

Il segno del GTPCAndando da M a T si passa dal + al - del GTPC: il potenziale scende, cioè c'è una caduta V_M - V_T = r I_1, che si somma alle cadute sui resistori..

$$I_1' = \frac{6}{60} = 0{,}1\ \mathrm A, \qquad V_1' = R_1 I_1' = 1\ \mathrm V$$

2. Agisce solo $J_1$ ($E_1$ in cortocircuito)

Ora N è a potenziale zero. $J_1$ porta $0{,}6\ \mathrm A$ da N a T.

LKC in T. Entra $J_1$; escono $I_1''$ in $R_1$ e la corrente nel GTPC verso M, che vale quindi $J_1 - I_1''$.

LKC in M. Entra $J_1 - I_1''$ dal GTPC; esce $g R_1 I_1''$ nel GCPT; il resto va in $R_2$ verso N: $I_{R2} = J_1 - I_1'' - g R_1 I_1'' = 0{,}6 - 1{,}4\, I_1''$.

LKT da T a 0 passando per M e N: $V_T = (V_T - V_M) + (V_M - V_N) + V_N$, cioè

$$R_1 I_1'' = -r I_1'' + R_2 (0{,}6 - 1{,}4\, I_1'') + 0 \quad\Longrightarrow\quad 10 I_1'' + 15 I_1'' + 35 I_1'' = 15 \quad\Longrightarrow\quad I_1'' = 0{,}25\ \mathrm A$$

$$V_1'' = R_1 I_1'' = 2{,}5\ \mathrm V$$

3. Somma

$$\boxed{V_1 = V_1' + V_1'' = 1 + 2{,}5 = 3{,}5\ \mathrm V}$$

Verifica con tutti i generatori accesi. $I_1 = 0{,}35\ \mathrm A$, $V_T = 3{,}5\ \mathrm V$, $V_M = V_T + r I_1 = 3{,}5 + 5{,}25 = 8{,}75\ \mathrm V$. In $R_2$, da M verso N: $(8{,}75 - 6)/25 = 0{,}11\ \mathrm A$. Nel GCPT: $g V_1 = 0{,}14\ \mathrm A$. Nel GTPC da T a M: $J_1 - I_1 = 0{,}25\ \mathrm A$. LKC in M: entra $0{,}25$, escono $0{,}11 + 0{,}14 = 0{,}25$ ✓.

Osservazione. In entrambe le sottoreti compare lo stesso coefficiente $60\ \Omega = R_1 + r + R_2(1 + gR_1)$: è la "resistenza" vista dalla corrente $I_1$, che contiene i contributi dei due pilotati. Questo succede perché le due sottoreti differiscono solo per i generatori indipendenti, mentre la parte "passiva" (resistori e pilotati) è la stessa.