Esercizio 3.22 - Norton e potenza reattiva del condensatore

Testo (Eserciziario, es. 3.22). Rete a regime sinusoidale con $R_1 = 10\ \Omega$, $R_2 = 20\ \Omega$, $L = 10\ \mathrm{mH}$, $C = 50\ \mu\mathrm F$, $e(t) = 100\sqrt2\cos\left(2000t - \frac{\pi}{2}\right)$, $j(t) = 5\sqrt2\cos(2000t)$.

1. Applicare il teorema di Norton alla rete a destra della porta AB: determinare $\dot Z_{ABeq}$ e il fasore $\bar I_{cc}$ della corrente di cortocircuito, uscente da A.
2. Nella rete completa calcolare la potenza reattiva $Q_C$ entrante nel condensatore.

Figura (descritta). A sinistra della porta: $C$ tra A (in alto) e B (in basso). Nel riquadro, quattro rami in parallelo tra il filo di A e quello di B: $R_1$; $L$; il GIC $j$ (freccia in su, verso A); $R_2$ in serie al GIT $e$ ($R_2$ in alto, $e$ in basso con il $+$ in alto).

Risultati: $\dot Z_{ABeq} = 2(3 + j) = 6 + j2\ \Omega$, $\bar I_{cc} = 5(1 - j)\ \mathrm A$, $Q_C = -200\ \mathrm{VAR}$.

Teoria: Teoremi di Thévenin e di NortonUna rete resistiva lineare vista da due morsetti equivale (Thévenin) a un GIT in serie a un resistore: la f.e.m. è la tensione a vuoto v_0 e il resistore è la resistenza interna R_eq, cioè la resistenza vista dai morsetti con tutti i generatori indipendenti spenti. Equivale anche (Norton) a un GIC in parallelo a un resistore: la corrente è quella di cortocircuito i_cc e la conduttanza è G_eq = 1/R_eq. Vale R_eq = v_0 / i_cc.Teoremi di Thévenin e di Norton →, Reti in regime sinusoidale (metodo simbolico)Metodo simbolico: (1) si scrivono tutte le sinusoidi in coseno (o tutte in seno) e se ne calcolano i fasori; (2) ogni bipolo passivo diventa un'impedenza (R, jωL, -j/ωC); (3) si risolve la rete simbolica con i metodi delle reti resistive (serie e parallelo, partitori, nodi, anelli, sovrapposizione, Thévenin e Norton), facendo i conti con i numeri complessi; (4) si torna alle sinusoidi. Serie: Ż = ΣŻk; parallelo: Ẏ = ΣẎk. Ogni impedenza equivale a una sintesi serie (R + L o R + C) o parallelo. Si conservano le potenze complessa, attiva e reattiva.Reti in regime sinusoidale (metodo simbolico) →.

1. Rete simbolica

$\bar E = 100\, e^{-j\pi/2} = -j100$, $\bar J = 5$; $\dot Z_L = j20$, $\dot Z_C = -\frac{j}{2000 \cdot 50 \cdot 10^{-6}} = -j10$.

2. Impedenza equivalente

Generatori spenti: restano $R_1$, $L$, $R_2$ in parallelo. Con le ammettenze:

$$\dot Y_{eq} = \frac{1}{10} + \frac{1}{j20} + \frac{1}{20} = 0{,}15 - j0{,}05\ \mathrm S$$

$$\dot Z_{ABeq} = \frac{1}{0{,}15 - j0{,}05} = \frac{0{,}15 + j0{,}05}{0{,}025} = 6 + j2 = 2(3 + j)\ \Omega$$

3. Corrente di cortocircuito

Con A e B in cortocircuito la tensione della porta è nulla: $R_1$ e $L$ non portano corrente. Verso A arrivano:

• dal GIC: $\bar J = 5$;
• dal ramo $R_2$–$e$: il nodo tra $R_2$ e il GIT è a $\bar E$ (il $+$ in alto), quindi in $R_2$ sale verso A la corrente $\frac{\bar E - 0}{R_2} = \frac{-j100}{20} = -j5$.

$$\boxed{\bar I_{cc} = 5 - j5 = 5(1 - j)\ \mathrm A}$$

4. Potenza reattiva del condensatore

Norton: un GIC $\bar I_{cc}$ in parallelo a $\dot Y_{eq}$, chiuso su $C$ ($\dot Y_C = j0{,}1$). La tensione della porta è

$$\bar V_{AB} = \frac{\bar I_{cc}}{\dot Y_{eq} + \dot Y_C} = \frac{5 - j5}{0{,}15 - j0{,}05 + j0{,}1} = \frac{5 - j5}{0{,}15 + j0{,}05} = \frac{(5 - j5)(0{,}15 - j0{,}05)}{0{,}025} = 20 - j40\ \mathrm V$$

$$\boxed{Q_C = -\omega C\, V_{AB}^2 = -\frac{V_{AB}^2}{|X_C|} = -\frac{400 + 1600}{10} = -200\ \mathrm{VAR}}$$

Basta il modulo di $\bar V_{AB}$: $V_{AB}^2 = \frac{|5 - j5|^2}{|0{,}15 + j0{,}05|^2} = \frac{50}{0{,}025} = 2000\ \mathrm{V^2}$.