Esercizio 3.11 - voltmetro a valore efficace

Testo (Eserciziario, es. 3.11). Rete a regime sinusoidale con $R = 10\ \Omega$, $L = 20\ \mathrm{mH}$, $C = 100\ \mu\mathrm F$ e il GIT $e(t) = 100\sqrt2\cos\left(500t + \frac{\pi}{4}\right)$. Calcolare il valore $V_V$ letto dal voltmetro ideale a valore efficace.

Figura (descritta). A sinistra il GIT ($+$ in alto). Sul filo superiore il condensatore $C$ in serie; dopo $C$, tra il filo superiore e quello inferiore, in parallelo: il voltmetro, $R$ e $L$.

Risultato: $V_V = 20\sqrt5\ \mathrm V \approx 44{,}7\ \mathrm V$.

Teoria: Potenza in regime sinusoidaleCon v e i sinusoidali la potenza istantanea p(t) = VI cos φ + VI cos(2ωt + φv + φi) oscilla a pulsazione 2ω. La sua media è la potenza attiva P = VI cos φ (watt). La potenza complessa Ṡ = V̄ Ī* = P + jQ ha per parte immaginaria la potenza reattiva Q = VI sin φ (VAR) e per modulo la potenza apparente S = VI (VA). cos φ = P/S è il fattore di potenza. Con un'impedenza: P = R I², Q = X I²; Q_L = ωL I² > 0, Q_C = -ωC V² < 0. In una rete si conservano la potenza complessa, attiva e reattiva (teorema di Boucherot).Potenza in regime sinusoidale → (strumenti di misura), Reti in regime sinusoidale (metodo simbolico)Metodo simbolico: (1) si scrivono tutte le sinusoidi in coseno (o tutte in seno) e se ne calcolano i fasori; (2) ogni bipolo passivo diventa un'impedenza (R, jωL, -j/ωC); (3) si risolve la rete simbolica con i metodi delle reti resistive (serie e parallelo, partitori, nodi, anelli, sovrapposizione, Thévenin e Norton), facendo i conti con i numeri complessi; (4) si torna alle sinusoidi. Serie: Ż = ΣŻk; parallelo: Ẏ = ΣẎk. Ogni impedenza equivale a una sintesi serie (R + L o R + C) o parallelo. Si conservano le potenze complessa, attiva e reattiva.Reti in regime sinusoidale (metodo simbolico) →.

1. Rete simbolica

$\bar E = 100\, e^{j\pi/4} = 50\sqrt2(1 + j)$. $\dot Z_C = -j20$, $\ \dot Z_L = j10$, $\ \dot Z_R = 10$ (ohm). Il voltmetro ideale è un circuito aperto: non porta corrente e non cambia la rete.

2. Partitore di tensione

Il parallelo $R \parallel L$:

$$\dot Z_p = \frac{10 \cdot j10}{10 + j10} = \frac{j10}{1 + j} = \frac{j10(1 - j)}{2} = 5 + j5\ \Omega$$

In serie a $C$: $\dot Z_{tot} = 5 + j5 - j20 = 5 - j15\ \Omega$. Il voltmetro misura la tensione su $\dot Z_p$:

$$\bar V_V = \bar E\, \frac{\dot Z_p}{\dot Z_{tot}} = \bar E\, \frac{5 + j5}{5 - j15}$$

3. Lettura

Serve solo il modulo, e il modulo di un prodotto o quoziente è il prodotto o quoziente dei moduli:

$$V_V = E\, \frac{|5 + j5|}{|5 - j15|} = 100 \cdot \frac{5\sqrt2}{5\sqrt{10}} = 100 \cdot \frac{1}{\sqrt5} = 20\sqrt5 \approx 44{,}7\ \mathrm V$$

$$\boxed{V_V = 20\sqrt5\ \mathrm V}$$

Il trucco dei moduli evita di calcolare il fasore completo quando lo strumento legge solo il valore efficace. Se servisse anche la fase: $\frac{5 + j5}{5 - j15} = \frac{(5 + j5)(5 + j15)}{250} = \frac{-50 + j100}{250} = -0{,}2 + j0{,}4$, e $\bar V_V = 50\sqrt2(1 + j)(-0{,}2 + j0{,}4) = 50\sqrt2(-0{,}6 + j0{,}2)$, con modulo $50\sqrt2 \cdot 0{,}632 = 44{,}7$ ✓.