Esercizio 3.5 - impedenza equivalente di due rami in parallelo

Testo (Eserciziario, es. 3.5). Rete a regime sinusoidale con $R = 50\ \Omega$, $L = 100\ \mathrm{mH}$, $C_1 = 40\ \mu\mathrm F$, $C_2 = 20\ \mu\mathrm F$, $\omega = 500\ \mathrm{rad/s}$. Calcolare l'impedenza equivalente tra A e B.

Figura (descritta). Tra A e B due rami in parallelo: $R$ in serie a $C_1$; $C_2$ in serie a $L$.

Risultato: $\dot Z_{AB} = 10 - j30\ \Omega$.

Teoria: Impedenza e ammettenzaIn regime sinusoidale, con i fasori e la convenzione dell'utilizzatore: resistore V̄ = R Ī (in fase), induttore V̄ = jωL Ī (tensione in anticipo di π/2), condensatore Ī = jωC V̄ (corrente in anticipo di π/2). In generale V̄ = Ż Ī: l'impedenza Ż = R + jX (resistenza e reattanza, in ohm) e l'ammettenza Ẏ = 1/Ż = G + jB (conduttanza e suscettanza, in siemens). X_L = ωL > 0, X_C = -1/(ωC) < 0. Un bipolo passivo ha Re(Ż) ≥ 0, cioè -π/2 ≤ φ ≤ π/2. Le leggi di Kirchhoff valgono sui fasori.Impedenza e ammettenza →.

1. Impedenze

$$\dot Z_{C1} = -\frac{j}{500 \cdot 40 \cdot 10^{-6}} = -j50, \quad \dot Z_{C2} = -\frac{j}{500 \cdot 20 \cdot 10^{-6}} = -j100, \quad \dot Z_L = j \cdot 500 \cdot 0{,}1 = j50$$

2. I due rami

$$\dot Z_1 = 50 - j50 = 50(1 - j), \qquad \dot Z_2 = -j100 + j50 = -j50$$

Il secondo ramo è complessivamente capacitivo: la reattanza di $C_2$ prevale su quella di $L$.

3. Parallelo

$$\dot Z_{AB} = \frac{\dot Z_1 \dot Z_2}{\dot Z_1 + \dot Z_2} = \frac{50(1 - j)(-j50)}{50 - j100} = \frac{50(-j - 1)}{1 - 2j}$$

Il numeratore50(1 - j)(-j50) = 2500(-j + j²) = 2500(-1 - j); dividendo numeratore e denominatore per 50 resta 50(-1 - j) su (1 - 2j).. Si razionalizza moltiplicando per il coniugato $1 + 2j$:

$$\dot Z_{AB} = \frac{50(-1 - j)(1 + 2j)}{1 + 4} = 10(-1 - 2j - j - 2j^2) = 10(-1 - 3j + 2) = 10(1 - 3j)$$

$$\boxed{\dot Z_{AB} = 10 - j30\ \Omega}$$

Controllo con le ammettenze. $\dot Y_1 = \frac{1 + j}{100}$, $\dot Y_2 = \frac{1}{-j50} = \frac{j}{50}$; somma $\frac{1 + 3j}{100}$; inverso $\frac{100(1 - 3j)}{10} = 10 - 30j$ ✓.