Potenza in regime sinusoidale

Dispensa, capitolo 19. Estende i concetti di Convenzioni, potenza e lavoro elettricoCon la convenzione dell'utilizzatore (corrente entrante dal +) il prodotto p = v·i è la potenza assorbita, con quella del generatore (corrente uscente dal +) è la potenza erogata; il senso fisico non dipende dalla convenzione. Il lavoro è l'integrale della potenza nel tempo; un componente attivo può erogare lavoro senza limite, uno passivo no.Convenzioni, potenza e lavoro elettrico → al regime sinusoidale. Prerequisiti: Sinusoidi e fasoriUna rete è in regime sinusoidale se tutte le tensioni e correnti sono sinusoidi della stessa pulsazione ω. Una sinusoide a(t) = √2 A cos(ωt + φ) è individuata da due numeri, il valore efficace A = A_M/√2 e la fase φ, e quindi dal fasore Ā = A e^(jφ), un numero complesso. Si torna alla sinusoide con a(t) = Re[√2 Ā e^(jωt)]. Somme di sinusoidi diventano somme di fasori, la derivata diventa moltiplicazione per jω: le equazioni differenziali della rete diventano equazioni algebriche complesse (metodo simbolico).Sinusoidi e fasori →, Impedenza e ammettenzaIn regime sinusoidale, con i fasori e la convenzione dell'utilizzatore: resistore V̄ = R Ī (in fase), induttore V̄ = jωL Ī (tensione in anticipo di π/2), condensatore Ī = jωC V̄ (corrente in anticipo di π/2). In generale V̄ = Ż Ī: l'impedenza Ż = R + jX (resistenza e reattanza, in ohm) e l'ammettenza Ẏ = 1/Ż = G + jB (conduttanza e suscettanza, in siemens). X_L = ωL > 0, X_C = -1/(ωC) < 0. Un bipolo passivo ha Re(Ż) ≥ 0, cioè -π/2 ≤ φ ≤ π/2. Le leggi di Kirchhoff valgono sui fasori.Impedenza e ammettenza →. Applicazioni: Rifasamento e massimo trasferimento di potenza attivaRifasare un carico ohmico-induttivo (P, cos φ) vuol dire mettergli in parallelo un condensatore che fornisca parte della sua potenza reattiva: P resta uguale, Q e la corrente di linea diminuiscono. Per portare il fattore di potenza da cos φ a cos φ': C = P (tan φ - tan φ') / (ω V²); rifasamento completo con tan φ' = 0. Massimo trasferimento di potenza attiva: un carico Ż collegato a un equivalente di Thévenin (Ē_eq, Ż_eq) riceve la massima potenza attiva quando Ż = Ż_eq* (impedenza coniugata), e allora P_max = E_eq² / (4 R_eq).Rifasamento e massimo trasferimento di potenza attiva →.

A una porta (o a un bipolo) con $v(t) = \sqrt2 V\cos(\omega t + \varphi_v)$ e $i(t) = \sqrt2 I \cos(\omega t + \varphi_i)$, si indica con

$$\varphi = \varphi_v - \varphi_i$$

lo sfasamento della tensione rispetto alla corrente (riportato in $(-\pi, \pi]$). Con la convenzione dell'utilizzatore le potenze si dicono entranti, con quella del generatore uscenti. Cambiando convenzione la fase di una delle due grandezze cambia di $\pm\pi$: $\cos\varphi$ e $\sin\varphi$ cambiano segno, quindi cambiano segno $p(t)$, $P$, $Q$ e $\dot S$; non cambia $S$.

Potenza istantanea

Con la formula di prodotto $\cos a \cos b = \frac12[\cos(a - b) + \cos(a + b)]$:

$$p(t) = v(t)\, i(t) = 2VI \cos(\omega t + \varphi_v)\cos(\omega t + \varphi_i) = VI\cos\varphi + VI\cos(2\omega t + \varphi_v + \varphi_i)$$

Una costante più una sinusoide di pulsazione doppia. Riscrivendo il secondo termine:

$$p(t) = \underbrace{P\,[1 + \cos(2\omega t + 2\varphi_i)]}_{\ge 0 \text{ se } P \ge 0} \; - \; \underbrace{Q \sin(2\omega t + 2\varphi_i)}_{\text{media nulla}}$$

con $P = VI\cos\varphi$ e $Q = VI\sin\varphi$ (definite sotto).

• Il primo termine non cambia mai segno: è un flusso unidirezionale di energia (quella che il bipolo usa davvero, per esempio dissipa in calore).
• Il secondo è la potenza fluttuante: un flusso bidirezionale, energia che va e viene tra il bipolo e il resto della rete senza essere consumata, con ampiezza $|Q|$.

Potenza attiva

È il valore medio di $p(t)$ su un periodo (la sinusoide a $2\omega$ ha media nulla):

$$\boxed{\;P = \frac{1}{T}\int_0^T p(t)\, dt = VI\cos\varphi\;} \qquad [\mathrm W]$$

Significato. In un intervallo lungo rispetto al periodo ($\Delta t \gg T$) l'energia entrante è $W \approx P\, \Delta t$. Per questo la bolletta si paga in $\mathrm{kWh}$ di energia attiva.

Potenza complessa

$$\boxed{\;\dot S = \bar V\, \bar I^{*} = VI\, e^{j\varphi} = P + jQ\;}$$

dove $\bar I^*$ è il complesso coniugato di $\bar I$. Il coniugato serve a ottenere la differenza delle fasi: $V e^{j\varphi_v} \cdot I e^{-j\varphi_i} = VI e^{j(\varphi_v - \varphi_i)}$. La potenza complessa non è un fasore (non rappresenta una sinusoide), per questo si scrive con il punto.

Con i fasori in ampiezza (modulo uguale al valore massimo) la formula diventa $\dot S = \frac12\, \bar V\, \bar I^*$: il fattore $\frac12$ compensa i due $\sqrt2$.

Potenza reattiva e potenza apparente

$$Q = \mathrm{Im}(\dot S) = VI\sin\varphi \qquad [\mathrm{VAR}, \text{ volt-ampere reattivi}]$$

$$S = |\dot S| = VI = \sqrt{P^2 + Q^2} \qquad [\mathrm{VA}, \text{ volt-ampere}]$$

$P$, $Q$ e $S$ formano il triangolo delle potenze (cateti $P$ e $Q$, ipotenusa $S$, angolo $\varphi$). Le unità diverse ($\mathrm W$, $\mathrm{VAR}$, $\mathrm{VA}$) sono dimensionalmente uguali, ma ricordano di che potenza si tratta.

Perché la potenza apparente conta. Un generatore, un trasformatore o una linea sono dimensionati per una tensione e una corrente massime, cioè per una $S$ massima (sono targati in $\mathrm{kVA}$), indipendentemente da quanta di quella potenza è attiva.

Fattore di potenza

$$\cos\varphi = \frac{P}{S}$$

adimensionale, tra 0 e 1 per un bipolo passivo. A parità di $P$ e di $V$, la corrente è $I = \frac{P}{V\cos\varphi}$: un fattore di potenza basso fa circolare più corrente per trasportare la stessa potenza attiva. È il motivo del rifasamentoRifasare un carico ohmico-induttivo (P, cos φ) vuol dire mettergli in parallelo un condensatore che fornisca parte della sua potenza reattiva: P resta uguale, Q e la corrente di linea diminuiscono. Per portare il fattore di potenza da cos φ a cos φ': C = P (tan φ - tan φ') / (ω V²); rifasamento completo con tan φ' = 0. Massimo trasferimento di potenza attiva: un carico Ż collegato a un equivalente di Thévenin (Ē_eq, Ż_eq) riceve la massima potenza attiva quando Ż = Ż_eq* (impedenza coniugata), e allora P_max = E_eq² / (4 R_eq).Rifasamento e massimo trasferimento di potenza attiva →.

Potenze dei bipoli elementari (utilizzatore)

Per un'impedenza $\dot Z = R + jX$: $\dot S = \bar V \bar I^* = \dot Z \bar I \bar I^* = \dot Z I^2$, quindi

$$P = R\, I^2, \qquad Q = X\, I^2, \qquad S = Z\, I^2$$

e, in termini di tensione, $\dot S = \bar V (\dot Y \bar V)^* = \dot Y^* V^2$, cioè $P = G V^2$, $Q = -B V^2$.

Induttori e condensatori hanno $P = 0$: in media non consumano energia, la scambiano. Che i loro $Q$ abbiano segni opposti è la chiave del rifasamento: un condensatore compensa la potenza reattiva di un carico induttivo.

Esempio. $\dot Z = 15 - j25\ \Omega$ percorsa da $I = 2\ \mathrm A$: $P = 15 \cdot 4 = 60\ \mathrm W$, $Q = -25 \cdot 4 = -100\ \mathrm{VAR}$ (capacitiva), $S = \sqrt{60^2 + 100^2} \approx 116{,}6\ \mathrm{VA}$, $\cos\varphi = 60/116{,}6 \approx 0{,}51$.

Conservazione: teorema di Boucherot

In una rete in regime sinusoidale, prendendo la stessa convenzione per tutti i bipoli:

$$\sum_{k=1}^{\ell} \dot S_k = 0 \quad\Longrightarrow\quad \sum_k P_k = 0, \qquad \sum_k Q_k = 0$$

Si conservano la potenza complessa, quella attiva e quella reattiva (separatamente). Si dimostra con il Teorema di TellegenCon la stessa convenzione su tutti i bipoli, la somma dei prodotti v_h·i_h su tutti i bipoli di una rete è zero, se le tensioni rispettano le LKT e le correnti le LKC. Dipende solo dalla topologia; preso tutto allo stesso istante dà la conservazione della potenza: la potenza erogata dai generatori è uguale a quella assorbita dagli altri bipoli.Teorema di Tellegen → applicato ai fasori delle tensioni e ai coniugati dei fasori delle correnti (che soddisfano anch'essi le LKC). In pratica: la potenza attiva erogata dai generatori è uguale a quella assorbita dai resistori, e la potenza reattiva erogata è uguale alla somma delle reattive assorbite da induttori (positive) e condensatori (negative).

Attenzione: la potenza apparente non si conserva: $S_{tot} \ne \sum S_k$ in generale.

Strumenti di misura

• Amperometro ideale a valore efficace: inserito in serie (si comporta come un cortocircuito), misura il valore efficace $I$ della corrente.
• Voltmetro ideale a valore efficace: inserito in parallelo (si comporta come un circuito aperto), misura il valore efficace $V$.
• Wattmetro ideale a valore medio: ha una coppia di morsetti amperometrici (in serie, cortocircuito) e una voltmetrica (in parallelo, aperto); misura $P = VI\cos\varphi$, con $V$ e $I$ presi secondo i contrassegni $\pm$ dei suoi morsetti. Se la corrente entra nel morsetto amperometrico contrassegnato e la tensione ha il $+$ sul morsetto voltmetrico contrassegnato, legge la potenza attiva entrante nel bipolo a valle.

Nessuno di questi strumenti perturba la rete. I valori letti sono numeri reali positivi (tranne il wattmetro, che può leggere un valore negativo): per trovarli si calcola il fasore e se ne prende il modulo.

Errori comuni

• Calcolare $\dot S = \bar V \bar I$ senza coniugare la corrente.
• Usare i valori massimi al posto degli efficaci in $P = VI\cos\varphi$ (o dimenticare il $\frac12$ con i fasori in ampiezza).
• Sommare le potenze apparenti dei bipoli.
• Sbagliare il segno di $Q$ del condensatore.

Esercizi: Esercizio 3.10 - amperometro a valore efficace, Esercizio 3.11 - voltmetro a valore efficace, Esercizio 3.12 - wattmetro a valore medio.