Esercizio 3.10 - amperometro a valore efficace

Testo (Eserciziario, es. 3.10). Rete a regime sinusoidale con $R = 10\ \Omega$, $L = 20\ \mathrm{mH}$, $C = 100\ \mu\mathrm F$ e il GIC $j(t) = 20\sqrt2\cos\left(500t + \frac{\pi}{2}\right)$. Calcolare il valore $I_A$ letto dall'amperometro ideale a valore efficace.

Figura (descritta). Quattro rami in parallelo tra il filo superiore e quello inferiore: da sinistra il GIC (freccia in su), $C$, $R$, $L$. L'amperometro è sul filo superiore, tra il nodo di $C$ e quello di $R$: misura la corrente che va verso $R$ e $L$.

Risultato: $I_A = 8\sqrt{10}\ \mathrm A \approx 25{,}3\ \mathrm A$.

Teoria: Potenza in regime sinusoidaleCon v e i sinusoidali la potenza istantanea p(t) = VI cos φ + VI cos(2ωt + φv + φi) oscilla a pulsazione 2ω. La sua media è la potenza attiva P = VI cos φ (watt). La potenza complessa Ṡ = V̄ Ī* = P + jQ ha per parte immaginaria la potenza reattiva Q = VI sin φ (VAR) e per modulo la potenza apparente S = VI (VA). cos φ = P/S è il fattore di potenza. Con un'impedenza: P = R I², Q = X I²; Q_L = ωL I² > 0, Q_C = -ωC V² < 0. In una rete si conservano la potenza complessa, attiva e reattiva (teorema di Boucherot).Potenza in regime sinusoidale → (strumenti di misura), Reti in regime sinusoidale (metodo simbolico)Metodo simbolico: (1) si scrivono tutte le sinusoidi in coseno (o tutte in seno) e se ne calcolano i fasori; (2) ogni bipolo passivo diventa un'impedenza (R, jωL, -j/ωC); (3) si risolve la rete simbolica con i metodi delle reti resistive (serie e parallelo, partitori, nodi, anelli, sovrapposizione, Thévenin e Norton), facendo i conti con i numeri complessi; (4) si torna alle sinusoidi. Serie: Ż = ΣŻk; parallelo: Ẏ = ΣẎk. Ogni impedenza equivale a una sintesi serie (R + L o R + C) o parallelo. Si conservano le potenze complessa, attiva e reattiva.Reti in regime sinusoidale (metodo simbolico) →.

1. Rete simbolica

$\bar J = 20\, e^{j\pi/2} = j20$. Impedenze a $\omega = 500\ \mathrm{rad/s}$: $\dot Z_C = -\frac{j}{500 \cdot 10^{-4}} = -j20$, $\ \dot Z_L = j \cdot 500 \cdot 0{,}02 = j10$, $\ \dot Z_R = 10$.

L'amperometro ideale è un cortocircuito: non cambia la rete, quindi i quattro rami restano in parallelo con la stessa tensione $\bar V$.

2. Tensione comune

Ammettenze: $\dot Y_C = \frac{1}{-j20} = j0{,}05$, $\ \dot Y_R = 0{,}1$, $\ \dot Y_L = \frac{1}{j10} = -j0{,}1$ (siemens). Totale:

$$\dot Y = 0{,}1 + j0{,}05 - j0{,}1 = 0{,}1 - j0{,}05$$

$$\bar V = \frac{\bar J}{\dot Y} = \frac{j20}{0{,}1 - j0{,}05} = \frac{j20\,(0{,}1 + j0{,}05)}{0{,}01 + 0{,}0025} = \frac{-1 + j2}{0{,}0125} = -80 + j160\ \mathrm V$$

3. Corrente nell'amperometro

È la somma delle correnti in $R$ e in $L$:

$$\bar I_A = \bar V\,(\dot Y_R + \dot Y_L) = (-80 + j160)(0{,}1 - j0{,}1) = -8 + j8 + j16 + 16 = 8 + j24\ \mathrm A$$

Il prodotto passo per passo(-80)(0,1) = -8; (-80)(-j0,1) = +j8; (j160)(0,1) = j16; (j160)(-j0,1) = -j² 16 = +16..

L'amperometro a valore efficace legge il modulo:

$$\boxed{I_A = \sqrt{8^2 + 24^2} = \sqrt{640} = 8\sqrt{10} \approx 25{,}3\ \mathrm A}$$

Osservazione. L'amperometro legge più dei $20\ \mathrm A$ del generatore: la corrente nel condensatore ($\bar I_C = \bar V \cdot j0{,}05 = -8 - j4$) è in buona parte opposta a quella che va verso $R$ e $L$, quindi "ricircola" tra il condensatore e gli altri rami. Controllo: $\bar I_C + \bar I_A = -8 - j4 + 8 + j24 = j20 = \bar J$ ✓.