Esercizio 3.20 - Thévenin e voltmetro in regime sinusoidale

Testo (Eserciziario, es. 3.20). Rete a regime sinusoidale con $R_1 = 10\ \Omega$, $R_2 = R_3 = 20\ \Omega$, $L = 30\ \mathrm{mH}$, $C = 25\ \mu\mathrm F$, $e(t) = 100\sqrt2\cos\left(1000t + \frac{\pi}{2}\right)$, $j(t) = 5\sqrt2\cos\left(1000t + \frac{\pi}{2}\right)$.

1. Della rete a destra della porta AB (nel riquadro) determinare $\dot Z_{ABeq}$ e $\bar V_{AB0}$ ($+$ in A).
2. Nella rete completa, determinare il valore $V_V$ letto dal voltmetro ideale a valore efficace.

Figura (descritta). A sinistra della porta: $R_1$ e il voltmetro in parallelo tra A (in alto) e B (in basso). Nel riquadro: da A, $L$ sul filo in alto fino al nodo N; poi il GIT $e$ sul filo in alto da N al nodo K, $+$ verso N. Da N scende $R_2$ fino a B; da K scendono $C$ in serie a $R_3$ fino a B; all'estrema destra il GIC $j$ da B a K (freccia in su).

Risultati: $\dot Z_{ABeq} = 15 + j25\ \Omega$, $\bar V_{AB0} = j100\ \mathrm V$, $V_V = 20\sqrt2\ \mathrm V$.

Teoria: Teoremi di Thévenin e di NortonUna rete resistiva lineare vista da due morsetti equivale (Thévenin) a un GIT in serie a un resistore: la f.e.m. è la tensione a vuoto v_0 e il resistore è la resistenza interna R_eq, cioè la resistenza vista dai morsetti con tutti i generatori indipendenti spenti. Equivale anche (Norton) a un GIC in parallelo a un resistore: la corrente è quella di cortocircuito i_cc e la conduttanza è G_eq = 1/R_eq. Vale R_eq = v_0 / i_cc.Teoremi di Thévenin e di Norton →, Reti in regime sinusoidale (metodo simbolico)Metodo simbolico: (1) si scrivono tutte le sinusoidi in coseno (o tutte in seno) e se ne calcolano i fasori; (2) ogni bipolo passivo diventa un'impedenza (R, jωL, -j/ωC); (3) si risolve la rete simbolica con i metodi delle reti resistive (serie e parallelo, partitori, nodi, anelli, sovrapposizione, Thévenin e Norton), facendo i conti con i numeri complessi; (4) si torna alle sinusoidi. Serie: Ż = ΣŻk; parallelo: Ẏ = ΣẎk. Ogni impedenza equivale a una sintesi serie (R + L o R + C) o parallelo. Si conservano le potenze complessa, attiva e reattiva.Reti in regime sinusoidale (metodo simbolico) →.

1. Rete simbolica

$\bar E = j100$, $\bar J = j5$; $\dot Z_L = j30$, $\dot Z_C = -\frac{j}{1000 \cdot 25 \cdot 10^{-6}} = -j40$.

2. Impedenza equivalente

Generatori spenti: $e$ diventa un corto (N e K coincidono), $j$ un aperto. Da A: $L$ in serie al parallelo tra $R_2$ e il ramo $C$–$R_3$ ($20 - j40$):

$$R_2 \parallel (R_3 + \dot Z_C) = \frac{20(20 - j40)}{40 - j40} = \frac{10(1 - 2j)}{1 - j} = \frac{10(1 - 2j)(1 + j)}{2} = 5(3 - j) = 15 - j5$$

$$\boxed{\dot Z_{ABeq} = j30 + 15 - j5 = 15 + j25\ \Omega}$$

3. Tensione a vuoto

A vuoto in $L$ non passa corrente, quindi $\bar V_{AB0} = \bar U_N$ (B riferimento). N e K sono legati dal GIT: $\bar U_K = \bar U_N - \bar E$. LKC sul supernodo {N, K}: entra $\bar J$, escono le correnti in $R_2$ e nel ramo $C$–$R_3$:

$$\bar J = \frac{\bar U_N}{R_2} + \frac{\bar U_N - \bar E}{R_3 + \dot Z_C}$$

Si prova $\bar U_N = \bar E = j100$: il secondo termine si annulla e il primo vale $\frac{j100}{20} = j5 = \bar J$ ✓. Quindi

$$\boxed{\bar V_{AB0} = j100\ \mathrm V}$$

Perché si può "provare" una soluzioneL'equazione è lineare in U_N con un'unica soluzione: se un valore la soddisfa, è quello. Qui l'idea viene dal notare che J diviso 1/R_2 dà proprio E.. Fisicamente: tutta la corrente del GIC passa in $R_2$, e il ramo $C$–$R_3$ ha tensione nulla.

4. Lettura del voltmetro

Il voltmetro è un circuito aperto: alla porta c'è solo $R_1$. Partitore tra $\dot Z_{ABeq}$ e $R_1$:

$$\bar V_{AB} = \bar V_{AB0}\, \frac{R_1}{R_1 + \dot Z_{ABeq}} = \frac{j100 \cdot 10}{25 + j25} = \frac{j40}{1 + j} = \frac{j40(1 - j)}{2} = 20 + j20$$

$$\boxed{V_V = |20 + j20| = 20\sqrt2 \approx 28{,}3\ \mathrm V}$$