Esercizio 3.7 - legge di Kirchhoff delle correnti con i fasori

Testo (Eserciziario, es. 3.7). Determinare $i(t)$, note

$$i_1(t) = 5\cos(\omega t), \quad i_2(t) = 5\sqrt2\cos\left(\omega t + \tfrac34\pi\right), \quad i_3(t) = 5\cos\left(\omega t + \tfrac{\pi}{2}\right)$$

Figura (descritta). Tre bipoli in parallelo; $i(t)$ entra nel nodo di sinistra e le tre correnti $i_1, i_2, i_3$ escono da esso, una per ramo.

Risultato: $i(t) = 10\cos\left(\omega t + \frac{\pi}{2}\right)$.

Teoria: Sinusoidi e fasoriUna rete è in regime sinusoidale se tutte le tensioni e correnti sono sinusoidi della stessa pulsazione ω. Una sinusoide a(t) = √2 A cos(ωt + φ) è individuata da due numeri, il valore efficace A = A_M/√2 e la fase φ, e quindi dal fasore Ā = A e^(jφ), un numero complesso. Si torna alla sinusoide con a(t) = Re[√2 Ā e^(jωt)]. Somme di sinusoidi diventano somme di fasori, la derivata diventa moltiplicazione per jω: le equazioni differenziali della rete diventano equazioni algebriche complesse (metodo simbolico).Sinusoidi e fasori →, Impedenza e ammettenzaIn regime sinusoidale, con i fasori e la convenzione dell'utilizzatore: resistore V̄ = R Ī (in fase), induttore V̄ = jωL Ī (tensione in anticipo di π/2), condensatore Ī = jωC V̄ (corrente in anticipo di π/2). In generale V̄ = Ż Ī: l'impedenza Ż = R + jX (resistenza e reattanza, in ohm) e l'ammettenza Ẏ = 1/Ż = G + jB (conduttanza e suscettanza, in siemens). X_L = ωL > 0, X_C = -1/(ωC) < 0. Un bipolo passivo ha Re(Ż) ≥ 0, cioè -π/2 ≤ φ ≤ π/2. Le leggi di Kirchhoff valgono sui fasori.Impedenza e ammettenza →.

1. LKC e fasori

LKC al nodo di sinistra: $i = i_1 + i_2 + i_3$, quindi $\bar I = \bar I_1 + \bar I_2 + \bar I_3$.

Attenzione alle ampiezze: $i_1$ e $i_3$ hanno ampiezza $5$ (valore efficace $5/\sqrt2 = 3{,}536$), $i_2$ ha ampiezza $5\sqrt2$ (valore efficace $5$).

• $\bar I_1 = 3{,}536$
• $\bar I_2 = 5\, e^{j3\pi/4} = 5\left(-\frac{\sqrt2}{2} + j\frac{\sqrt2}{2}\right) = -3{,}536 + j3{,}536$
• $\bar I_3 = 3{,}536\, e^{j\pi/2} = j3{,}536$

2. Somma

$$\bar I = (3{,}536 - 3{,}536) + j(3{,}536 + 3{,}536) = j\,7{,}071 = 5\sqrt2\, e^{j\pi/2}$$

Le parti reali si annullano esattamente: resta un fasore immaginario puro, cioè fase $\pi/2$.

$$\boxed{i(t) = \sqrt2 \cdot 5\sqrt2\cos\left(\omega t + \tfrac{\pi}{2}\right) = 10\cos\left(\omega t + \tfrac{\pi}{2}\right)}$$

Lettura grafica. $\bar I_1$ punta a destra, $\bar I_2$ in alto a sinistra (a $135°$), $\bar I_3$ in alto. La componente orizzontale di $\bar I_2$ cancella $\bar I_1$, quella verticale si somma a $\bar I_3$.