Esercizio 3.23 - Norton e potenza attiva del resistore

Testo (Eserciziario, es. 3.23). Rete a regime sinusoidale con $R = 20\ \Omega$, $L = 10\ \mathrm{mH}$, $C_1 = 20\ \mu\mathrm F$, $C_2 = 25\ \mu\mathrm F$, $e(t) = 200\sqrt2\cos(2000t)$, $j(t) = 5\sqrt2\cos\left(2000t + \frac{\pi}{2}\right)$.

1. Applicare il teorema di Norton alla rete a destra della porta AB: determinare $\dot Z_{ABeq}$ e $\bar I_{cc}$ con riferimento entrante nel morsetto A.
2. Nella rete completa calcolare la potenza attiva $P_R$ entrante nel resistore.

Figura (descritta). A sinistra della porta: $R$ tra A e B. Nel riquadro: da A scende un ramo con $C_1$ in serie al GIC $j$ (freccia in su, verso A) fino a B; sul filo in alto da A parte $C_2$ fino al nodo N; da N scendono fino a B il GIT $e$ ($+$ in alto) e, più a destra, $L$.

Risultati: $\dot Z_{ABeq} = -j20\ \Omega$, $\bar I_{cc} = -j15\ \mathrm A$, $P_R = 2250\ \mathrm W$.

Teoria: Teoremi di Thévenin e di NortonUna rete resistiva lineare vista da due morsetti equivale (Thévenin) a un GIT in serie a un resistore: la f.e.m. è la tensione a vuoto v_0 e il resistore è la resistenza interna R_eq, cioè la resistenza vista dai morsetti con tutti i generatori indipendenti spenti. Equivale anche (Norton) a un GIC in parallelo a un resistore: la corrente è quella di cortocircuito i_cc e la conduttanza è G_eq = 1/R_eq. Vale R_eq = v_0 / i_cc.Teoremi di Thévenin e di Norton →, Reti in regime sinusoidale (metodo simbolico)Metodo simbolico: (1) si scrivono tutte le sinusoidi in coseno (o tutte in seno) e se ne calcolano i fasori; (2) ogni bipolo passivo diventa un'impedenza (R, jωL, -j/ωC); (3) si risolve la rete simbolica con i metodi delle reti resistive (serie e parallelo, partitori, nodi, anelli, sovrapposizione, Thévenin e Norton), facendo i conti con i numeri complessi; (4) si torna alle sinusoidi. Serie: Ż = ΣŻk; parallelo: Ẏ = ΣẎk. Ogni impedenza equivale a una sintesi serie (R + L o R + C) o parallelo. Si conservano le potenze complessa, attiva e reattiva.Reti in regime sinusoidale (metodo simbolico) →.

1. Rete simbolica

$\bar E = 200$, $\bar J = 5\, e^{j\pi/2} = j5$; $\dot Z_{C1} = -\frac{j}{2000 \cdot 20 \cdot 10^{-6}} = -j25$, $\dot Z_{C2} = -j20$, $\dot Z_L = j20$.

2. Impedenza equivalente

Generatori spenti:

• il ramo $C_1$–GIC è aperto (il GIC spento è un circuito aperto, e $C_1$ in serie a un aperto non porta corrente);
• il GIT diventa un corto: N coincide con B, e $L$ è cortocircuitato.

Da A resta solo $C_2$: $\ \boxed{\dot Z_{ABeq} = -j20\ \Omega}$.

3. Corrente di cortocircuito

Con A in corto con B, verso A arrivano dalla rete:

• dal ramo del GIC: $\bar J = j5$ (il GIC impone la corrente nel suo ramo, $C_1$ non conta);
• da N attraverso $C_2$: N è a $\bar E = 200$ (il GIT è tra N e B), quindi $\frac{200 - 0}{-j20} = j10$.

In tutto la rete fa uscire da A verso il cortocircuito $j15$. Con il riferimento entrante in A richiesto dal testo:

$$\boxed{\bar I_{cc} = -j15\ \mathrm A}$$

4. Potenza nel resistore

L'equivalente di Norton fa uscire da A la corrente $j15$ e ha ammettenza interna $\dot Y_{eq} = \frac{1}{-j20} = j0{,}05$. Con $R$ collegato:

$$\bar V_{AB} = \frac{j15}{\dot Y_{eq} + \frac{1}{R}} = \frac{j15}{0{,}05 + j0{,}05} = \frac{j15(0{,}05 - j0{,}05)}{0{,}005} = 150 + j150\ \mathrm V$$

$$\boxed{P_R = \frac{V_{AB}^2}{R} = \frac{150^2 + 150^2}{20} = \frac{45\,000}{20} = 2250\ \mathrm W}$$

Attenzione al verso di $\bar I_{cc}$. Il segno dipende dal riferimento scelto (entrante o uscente da A), ma la potenza no: compare solo $|\bar V_{AB}|^2$.