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Note per Studenti Esercizio 2.6 - resistenza interna con un GTPT e un GIT

Esercizio 2.6 - resistenza interna con un GTPT e un GIT

Testo (Eserciziario, es. 2.6). Rete in regime stazionario con R1=R2=1 kΩR_1 = R_2 = 1\ \mathrm{k\Omega}, un GIT E=15 VE = 15\ \mathrm V e un GTPT con α=3\alpha = 3. Determinare la resistenza interna RiR_i ai morsetti AB.

Figura (descritta). Filo in basso = B. Nodo A in alto a sinistra.

Bipolo Tra i nodi Note
R1R_1 A – M verticale sotto A; VR1V_{R1} ha il −- in alto (A) e il ++ in basso (M): VR1=VM−VAV_{R1} = V_M - V_A
EE M – B sotto R1R_1, ++ in alto: VM=EV_M = E
GTPT αVR1\alpha V_{R1} A – N sul filo in alto verso destra, ++ verso A: VA−VN=αVR1V_A - V_N = \alpha V_{R1}
R2R_2 N – B lato destro

Risultato: Ri=200 ΩR_i = 200\ \Omega.

Teoria: Reti con generatori pilotatiUna rete lineare con generatori pilotati si risolve con gli stessi metodi (Kirchhoff, nodi, anelli, sovrapposizione, Thévenin e Norton) aggiungendo un'equazione per ogni pilotato: quella che esprime la grandezza di controllo con le incognite. Nella sovrapposizione si spengono solo i generatori indipendenti; i pilotati restano sempre attivi. La resistenza equivalente non si trova con serie e parallelo: si usa un generatore di prova (R_eq = V*/I* con i generatori indipendenti spenti) oppure il rapporto v_0 / i_cc. Con i pilotati R_eq può venire anche negativa.Reti con generatori pilotati →.

1. Generatore di prova

EE spento (cortocircuito): M coincide con B, quindi VM=0V_M = 0. GIT di prova V∗V^* su AB (++ su A), VB=0V_B = 0, VA=V∗V_A = V^*.

  • Controllo: VR1=VM−VA=−V∗V_{R1} = V_M - V_A = -V^*.
  • Nodo N: VN=VA−αVR1=V∗+3V∗=4V∗V_N = V_A - \alpha V_{R1} = V^* + 3 V^* = 4 V^*.
  • Correnti uscenti da A: in R1R_1 verso M (cioè verso B): V∗/R1V^*/R_1; attraverso il GTPT verso N e poi in R2R_2: VN/R2=(1+α)V∗/R2V_N / R_2 = (1+\alpha) V^*/R_2.

I∗=V∗(1R1+1+αR2)=V∗(11000+41000)=V∗200I^* = V^* \left( \frac{1}{R_1} + \frac{1 + \alpha}{R_2} \right) = V^* \left( \frac{1}{1000} + \frac{4}{1000} \right) = \frac{V^*}{200}

Ri=200 Ω\boxed{R_i = 200\ \Omega}

2. Verifica: tensione a vuoto e corrente di cortocircuito

A vuoto. Una sola maglia: B → EE → M → R1R_1 → A → GTPT → N → R2R_2 → B. Con VM=15V_M = 15: VR1=15−VAV_{R1} = 15 - V_A e VN=VA−3(15−VA)=4VA−45V_N = V_A - 3(15 - V_A) = 4 V_A - 45. La corrente che va da A verso M in R1R_1 più quella che va da A verso N deve essere zero (nessuna corrente esce da A):

VA−151000+4VA−451000=0⟹5VA=60⟹VAB0=12 V\frac{V_A - 15}{1000} + \frac{4 V_A - 45}{1000} = 0 \quad\Longrightarrow\quad 5 V_A = 60 \quad\Longrightarrow\quad V_{AB0} = 12\ \mathrm V

In cortocircuito (VA=0V_A = 0): VR1=15 VV_{R1} = 15\ \mathrm V, VN=−45 VV_N = -45\ \mathrm V. In A arrivano 15/1000=15 mA15/1000 = 15\ \mathrm{mA} da R1R_1 e 45/1000=45 mA45/1000 = 45\ \mathrm{mA} dal ramo GTPT–R2R_2 (la corrente in R2R_2 sale da B verso N, perché N è a −45 V-45\ \mathrm V).

Icc=60 mA,Ri=120,06=200 Ω✓I_{cc} = 60\ \mathrm{mA}, \qquad R_i = \frac{12}{0{,}06} = 200\ \Omega \quad ✓

Equivalente di Thévenin completo: Eeq=12 VE_{eq} = 12\ \mathrm V in serie a 200 Ω200\ \Omega.

Teoria collegata