Domanda d'esame - transitorio di carica di un circuito RL

Testo (domanda di teoria, per esempio compitino 23/01/2023 e 16/01/2024, compito 03/02/2025 tema B). Transitorio di carica di un circuito R-L:

• disegnare il circuito e indicare i riferimenti adottati;
• svolgere l'analisi per $t < 0$ e per $t = 0$;
• per $t > 0$ scrivere il sistema di equazioni, ricavare l'equazione differenziale rispetto alla variabile di stato e calcolarne la soluzione;
• tracciare i grafici di corrente e tensione dell'induttore.

Teoria: Circuiti del primo ordine (RC e RL)Una rete con un solo condensatore o un solo induttore è del primo ordine: la variabile di stato x(t) soddisfa dx/dt + x/T = b(t). Con generatori costanti la soluzione è x(t) = x∞ + [x(0) - x∞] e^(-t/T): valore finale (regime stazionario per t > 0) più un transitorio esponenziale. La costante di tempo è T = R C per il condensatore e T = L / R per l'induttore, dove R è la resistenza di Thévenin vista dal componente dinamico. Dopo 4-5 costanti di tempo il transitorio è esaurito. Carica RC: vC = E(1 - e^(-t/RC)); scarica: vC = V0 e^(-t/RC); duali per RL.Circuiti del primo ordine (RC e RL) →, InduttoreL'induttore ideale ha flusso concatenato φ = L i e quindi, in convenzione dell'utilizzatore, v = L di/dt (L in henry). È il duale del condensatore: ha memoria, i(t) = i(t0) + (1/L) ∫ v dt; con tensione limitata la corrente è continua; immagazzina l'energia W_L = ½ L i² (variabile di stato: la corrente). In regime stazionario è un cortocircuito. Serie: L_s = Σ L_k; parallelo: 1/L_p = Σ 1/L_k (come i resistori).Induttore →.

1. Schema e riferimenti

Una maglia con un GIT costante $E > 0$, un interruttore S (aperto per $t < 0$, chiuso in $t = 0$), un resistore $R$ e un induttore $L$. Corrente $i_L$ uscente dal $+$ del GIT; $v_R$ e $v_L$ con la convenzione dell'utilizzatore.

2. Analisi per $t < 0$ e $t = 0$

Con S aperto la corrente è nulla: l'induttore è scarico, $i_L(0^-) = 0$. In $t = 0$ la corrente dell'induttore (variabile di stato) è continua:

$$i_L(0^+) = i_L(0^-) = 0$$

La tensione dell'induttore invece salta: in $0^+$ la corrente è nulla, quindi $v_R(0^+) = 0$ e tutta la $E$ è sull'induttore, $v_L(0^+) = E$ (l'induttore "scarico" si comporta come un circuito aperto).

3. Equazioni per $t > 0$

$$\begin{cases} v_R + v_L - E = 0 \\ i_R = i_L \\ v_R = R\, i_R \\ v_L = L\, \dfrac{di_L}{dt} \end{cases} \quad\Longrightarrow\quad L\,\frac{di_L}{dt} + R\, i_L = E, \qquad i_L(0) = 0$$

Dividendo per $R$: $\ \frac{L}{R} \frac{di_L}{dt} + i_L = \frac{E}{R}$.

4. Soluzione

• Omogenea: $L s + R = 0 \Rightarrow s = -R/L$, soluzione $A\, e^{-t/T}$ con $\boxed{T = L/R}$.
• Particolare costante: $I_p = E/R$ (regime stazionario per $t > 0$: induttore in cortocircuito, la corrente è limitata solo da $R$).
• Condizione iniziale: $A + E/R = 0 \Rightarrow A = -E/R$.

$$\boxed{i_L(t) = \frac{E}{R}\left(1 - e^{-t/T}\right), \qquad v_L(t) = L\, \frac{di_L}{dt} = E\, e^{-t/T}}$$

Commento. È il duale della carica del condensatore: qui è la corrente a crescere con continuità da zero al valore finale, mentre la tensione salta a $E$ e poi si annulla. L'induttore "frena" la crescita della corrente; alla fine, a corrente costante, la sua tensione è zero.

5. Esempio numerico

$E = 24\ \mathrm V$, $R = 12\ \Omega$, $L = 60\ \mathrm{mH}$.

• $T = L/R = 0{,}06/12 = 5\ \mathrm{ms}$; corrente finale $E/R = 2\ \mathrm A$.
• A $t = 1\ \mathrm{ms}$: $i_L = 2\,(1 - e^{-0{,}2}) = 0{,}363\ \mathrm A$, $v_L = 24\, e^{-0{,}2} = 19{,}6\ \mathrm V$.
• Energia immagazzinata a regime: $W_L = \frac12 L I^2 = \frac12 \cdot 0{,}06 \cdot 4 = 0{,}12\ \mathrm J$.