Risonanza serie e parallelo

Dispensa, paragrafi 21.10 e 21.11. Studia come cambiano le impedenze di induttori e condensatoriIn regime sinusoidale, con i fasori e la convenzione dell'utilizzatore: resistore V̄ = R Ī (in fase), induttore V̄ = jωL Ī (tensione in anticipo di π/2), condensatore Ī = jωC V̄ (corrente in anticipo di π/2). In generale V̄ = Ż Ī: l'impedenza Ż = R + jX (resistenza e reattanza, in ohm) e l'ammettenza Ẏ = 1/Ż = G + jB (conduttanza e suscettanza, in siemens). X_L = ωL > 0, X_C = -1/(ωC) < 0. Un bipolo passivo ha Re(Ż) ≥ 0, cioè -π/2 ≤ φ ≤ π/2. Le leggi di Kirchhoff valgono sui fasori.Impedenza e ammettenza → al variare della pulsazione. La stessa $\omega_0$ è comparsa come pulsazione di oscillazione libera nei Circuiti del secondo ordine (RLC)Un circuito con un condensatore e un induttore (RLC serie o parallelo) è del secondo ordine: d²x/dt² + 2α dx/dt + ω0² x = u(t), con ω0 = 1/√(LC) e α = R/(2L) (serie) oppure α = G/(2C) = 1/(2RC) (parallelo). Le radici s = -α ± √(α² - ω0²) danno tre casi: sovrasmorzato (α > ω0, due esponenziali reali), critico (α = ω0, e^(-αt)(A1 + A2 t)), sottosmorzato (α < ω0, oscillazioni smorzate con pulsazione ωs = √(ω0² - α²)). Servono due condizioni iniziali: x(0+) e dx/dt(0+), che si ricavano da vC(0+) e iL(0+).Circuiti del secondo ordine (RLC) →.

RLC serie: comportamento in frequenza

$$\dot Z(\omega) = R + j\left(\omega L - \frac{1}{\omega C}\right), \qquad Z(\omega) = \sqrt{R^2 + \left(\omega L - \frac{1}{\omega C}\right)^2}, \qquad \varphi(\omega) = \arctan\frac{\omega L - \frac{1}{\omega C}}{R}$$

• per $\omega \to 0^+$ domina il condensatore: $Z \to +\infty$, $\varphi \to -\pi/2$;
• per $\omega \to +\infty$ domina l'induttore: $Z \to +\infty$ (asintoto obliquo $\omega L$), $\varphi \to +\pi/2$;
• in mezzo $Z$ ha un minimo: sotto radice c'è $R^2$, fisso, più un quadrato che vale zero quando le due reattanze si compensano.

Pulsazione di risonanza:

$$\omega_0 L - \frac{1}{\omega_0 C} = 0 \quad\Longrightarrow\quad \boxed{\;\omega_0 = \frac{1}{\sqrt{LC}}\;}, \qquad f_0 = \frac{\omega_0}{2\pi}$$

Caso limite $R = 0$: a $\omega_0$ la serie LC ha impedenza nulla, cioè è un cortocircuito (Esercizio 3.26 - risonanza serie e wattmetro).

Funzionamento alla risonanza serie

A $\omega_0$: $\bar V_L + \bar V_C = (\dot Z_L + \dot Z_C)\, \bar I = 0$, cioè nel tempo $v_L(t) + v_C(t) = 0$. Le due tensioni sono uguali e opposte; ciascuna può essere molto più grande della tensione applicata.

Energia. L'energia oscilla tra induttore e condensatore: quando la corrente è massima è tutta nell'induttore, quando è nulla è tutta nel condensatore. La somma $W_L(t) + W_C(t)$ è costante (e vale $L I^2$ con $I$ efficace): il generatore deve fornire solo l'energia dissipata in $R$. La potenza reattiva totale è nulla ($Q_L + Q_C = 0$).

Fattore di qualità.

$$Q = 2\pi\, \frac{\text{energia immagazzinata}}{\text{energia dissipata in un periodo}} = \frac{\omega_0 L}{R} = \frac{1}{\omega_0 R C}$$

e coincide con il rapporto tra la tensione su $L$ (o su $C$) e quella applicata:

$$\frac{V_L}{V} = \frac{V_C}{V} = \frac{\omega_0 L\, I}{R\, I} = Q$$

Con $Q \gg 1$ alla risonanza si hanno sovratensioni su $L$ e $C$. È voluto nei circuiti di sintonia, pericoloso negli impianti di potenza.

Esempio. $R = 1\ \Omega$, $L = 10\ \mathrm{mH}$, $C = 100\ \mu\mathrm F$: $\omega_0 = 1/\sqrt{10^{-6}} = 1000\ \mathrm{rad/s}$ ($f_0 \approx 159\ \mathrm{Hz}$), $Q = \frac{1000 \cdot 0{,}01}{1} = 10$. Alimentato con $1\ \mathrm V$ a $\omega_0$: corrente $1\ \mathrm A$ e $10\ \mathrm V$ su induttore e condensatore.

Filtro passa banda (serie)

Si prende come uscita la tensione sul resistore. La funzione di trasferimento (rapporto tra fasore dell'uscita e fasore dell'ingresso) è

$$\dot H(\omega) = \frac{\bar V_R}{\bar E} = \frac{R}{\dot Z} = \frac{1}{1 + jQ\left(\dfrac{\omega}{\omega_0} - \dfrac{\omega_0}{\omega}\right)}$$

Da dove viene la forma con QSi raccoglie R: Ż = R[1 + j(ωL - 1/ωC)/R]; poi ωL/R = Q ω/ω0 e 1/(ωCR) = Q ω0/ω, usando ω0 L/R = Q e 1/(ω0 C R) = Q.. Il modulo vale 1 a $\omega_0$ e tende a 0 sia per $\omega \to 0$ sia per $\omega \to \infty$: il circuito lascia passare le pulsazioni vicine a $\omega_0$ e attenua le altre.

Pulsazioni di taglio $\omega_1 < \omega_0 < \omega_2$: quelle in cui $|\dot H| = 1/\sqrt2$ (la potenza in uscita si dimezza). Imponendo $Q\left(\frac{\omega}{\omega_0} - \frac{\omega_0}{\omega}\right) = \pm 1$ e prendendo le soluzioni positive:

$$\omega_{1,2} = \omega_0\left(\mp\frac{1}{2Q} + \sqrt{1 + \frac{1}{4Q^2}}\right), \qquad \boxed{B = \omega_2 - \omega_1 = \frac{\omega_0}{Q}}$$

La larghezza di banda $B$ è inversamente proporzionale a $Q$: più alto il fattore di qualità, più selettivo il filtro. Per $Q \gg 1$: $\omega_{1,2} \approx \omega_0 \mp \frac{B}{2}$, quasi simmetriche. Nell'esempio ($Q = 10$): $B = 100\ \mathrm{rad/s}$, $\omega_1 = 951{,}2\ \mathrm{rad/s}$, $\omega_2 = 1051{,}2\ \mathrm{rad/s}$.

Applicazione tipica: il circuito di sintonia di una radio, che seleziona una stazione e attenua quelle a frequenze vicine.

RLC parallelo

È il duale: si scambiano impedenze con ammettenze.

$$\dot Y(\omega) = G + j\left(\omega C - \frac{1}{\omega L}\right)$$

• l'ammettenza ha modulo minimo (pari a $G$) alla stessa $\omega_0 = 1/\sqrt{LC}$, dove le suscettanze si annullano; l'impedenza è quindi massima e vale $R$;
• per $\omega < \omega_0$ prevale l'induttore (comportamento ohmico-induttivo), per $\omega > \omega_0$ il condensatore (ohmico-capacitivo);
• con $G = 0$ il parallelo LC a $\omega_0$ ha ammettenza nulla: è un circuito aperto (Esercizio 3.27 - risonanza parallelo e wattmetro).

Alla risonanza $\bar I_L + \bar I_C = 0$: una corrente circola tra induttore e condensatore senza uscire dal parallelo. Il fattore di qualità è

$$Q = \frac{\omega_0 C}{G} = \omega_0 R C = \frac{R}{\omega_0 L}, \qquad \frac{I_L}{I} = \frac{I_C}{I} = Q$$

quindi con $Q \gg 1$ si hanno sovracorrenti in $L$ e $C$.

Filtro passa banda (parallelo). Alimentando con un GIC e prendendo come uscita la corrente nel resistore, $\dot H = \frac{\bar I_R}{\bar J} = \frac{G}{\dot Y} = \frac{1}{1 + jQ\left(\frac{\omega}{\omega_0} - \frac{\omega_0}{\omega}\right)}$: stessa forma del serie, stesse formule per $\omega_1$, $\omega_2$ e $B = \omega_0/Q$, ma con $Q = \omega_0 R C$.

Confronto

Attenzione: nel serie un $R$ piccolo dà $Q$ alto; nel parallelo un $R$ grande dà $Q$ alto.

Errori comuni

• Scambiare il comportamento sopra e sotto $\omega_0$ tra serie e parallelo.
• Usare la formula di $Q$ del serie per il parallelo (o viceversa).
• Dimenticare che alla risonanza le tensioni (serie) o le correnti (parallelo) di L e C possono superare di molto quelle del generatore.

Esercizi: Esercizio 3.26 - risonanza serie e wattmetro, Esercizio 3.27 - risonanza parallelo e wattmetro.