Esercizio 3.6 - legge di Kirchhoff delle tensioni con i fasori

Testo (Eserciziario, es. 3.6). Determinare $v(t)$, note

$$v_1(t) = 10\sqrt2\cos\left(100t + \tfrac{\pi}{6}\right), \quad v_2(t) = 20\sqrt2\cos\left(100t - \tfrac56\pi\right), \quad v_3(t) = 10\sqrt2\cos\left(100t + \tfrac23\pi\right)$$

Figura (descritta). Tre bipoli in serie; ciascuna tensione $v_1, v_2, v_3$ ha il $+$ a sinistra. La tensione $v(t)$ ai morsetti della serie ha il $+$ sul morsetto di sinistra.

Risultato: $v(t) = 20\cos\left(100t + \frac{11}{12}\pi\right)$.

Teoria: Sinusoidi e fasoriUna rete è in regime sinusoidale se tutte le tensioni e correnti sono sinusoidi della stessa pulsazione ω. Una sinusoide a(t) = √2 A cos(ωt + φ) è individuata da due numeri, il valore efficace A = A_M/√2 e la fase φ, e quindi dal fasore Ā = A e^(jφ), un numero complesso. Si torna alla sinusoide con a(t) = Re[√2 Ā e^(jωt)]. Somme di sinusoidi diventano somme di fasori, la derivata diventa moltiplicazione per jω: le equazioni differenziali della rete diventano equazioni algebriche complesse (metodo simbolico).Sinusoidi e fasori →, Impedenza e ammettenzaIn regime sinusoidale, con i fasori e la convenzione dell'utilizzatore: resistore V̄ = R Ī (in fase), induttore V̄ = jωL Ī (tensione in anticipo di π/2), condensatore Ī = jωC V̄ (corrente in anticipo di π/2). In generale V̄ = Ż Ī: l'impedenza Ż = R + jX (resistenza e reattanza, in ohm) e l'ammettenza Ẏ = 1/Ż = G + jB (conduttanza e suscettanza, in siemens). X_L = ωL > 0, X_C = -1/(ωC) < 0. Un bipolo passivo ha Re(Ż) ≥ 0, cioè -π/2 ≤ φ ≤ π/2. Le leggi di Kirchhoff valgono sui fasori.Impedenza e ammettenza →.

1. LKT

Con i versi della figura le tre tensioni si sommano: $v(t) = v_1(t) + v_2(t) + v_3(t)$. Sommare tre sinusoidi con le formule trigonometriche sarebbe lungo; con i fasori è una somma di numeri complessi:

$$\bar V = \bar V_1 + \bar V_2 + \bar V_3$$

2. Fasori in forma cartesiana

• $\bar V_1 = 10\, e^{j\pi/6} = 10\left(\frac{\sqrt3}{2} + j\frac12\right) = 8{,}660 + j5$
• $\bar V_2 = 20\, e^{-j5\pi/6} = 20\left(-\frac{\sqrt3}{2} - j\frac12\right) = -17{,}321 - j10$
• $\bar V_3 = 10\, e^{j2\pi/3} = 10\left(-\frac12 + j\frac{\sqrt3}{2}\right) = -5 + j8{,}660$

3. Somma

$$\bar V = (8{,}660 - 17{,}321 - 5) + j(5 - 10 + 8{,}660) = -13{,}660 + j3{,}660$$

Modulo: $V = \sqrt{13{,}660^2 + 3{,}660^2} = \sqrt{186{,}6 + 13{,}4} = \sqrt{200} = 10\sqrt2$.

Argomento: parte reale negativa e immaginaria positiva, secondo quadrante:

$$\varphi = \pi - \arctan\frac{3{,}660}{13{,}660} = \pi - \frac{\pi}{12} = \frac{11}{12}\pi$$

Perché arctan(3,660 / 13,660) = π/123,660 / 13,660 = 0,268 = 2 - √3, che è proprio la tangente di 15 gradi, cioè di π/12..

4. Ritorno alla sinusoide

$$\boxed{v(t) = \sqrt2 \cdot 10\sqrt2\cos\left(100t + \tfrac{11}{12}\pi\right) = 20\cos\left(100t + \tfrac{11}{12}\pi\right)}$$

Osservazione. Il valore efficace della somma è $14{,}1\ \mathrm V$, mentre la somma dei valori efficaci sarebbe $40\ \mathrm V$: la LKT vale sui fasori, non sui valori efficaci.