Esercizio 3.9 - partitore di corrente con impedenze

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Testo (Eserciziario, es. 3.9). Rete a regime sinusoidale con $R = 25\ \Omega$ , $C = 100\ \mu\mathrm F$ e il GIC $j(t) = 10\sqrt2\cos(400t)$ . Determinare $i_R(t)$ e $i_C(t)$ .

Figura (descritta). Tre bipoli in parallelo tra due nodi: il GIC $j(t)$ (freccia in su, verso il nodo superiore), $R$ con $i_R$ verso il basso, $C$ con $i_C$ verso il basso.

Risultati: $i_R(t) = 10\cos(400t - \pi/4)$ , $\ i_C(t) = 10\cos(400t + \pi/4)$ .

Teoria: Reti in regime sinusoidale (metodo simbolico).

1. Rete simbolica

$\bar J = 10$ (valore efficace $10$ , fase $0$ ). $\dot Z_R = 25$ , $\ \dot Z_C = -\frac{j}{400 \cdot 10^{-4}} = -j25$ (ohm).

2. Partitore di corrente

Con due rami in parallelo, la corrente in un ramo è quella totale per l'impedenza dell'altro ramo, diviso la somma:

$\bar I_R = \bar J\, \frac{\dot Z_C}{\dot Z_R + \dot Z_C} = 10\, \frac{-j25}{25 - j25} = 10\, \frac{-j}{1 - j} = 10\, \frac{-j(1 + j)}{2} = 5(1 - j)$

$\bar I_C = \bar J\, \frac{\dot Z_R}{\dot Z_R + \dot Z_C} = 10\, \frac{1}{1 - j} = 5(1 + j)$

Controllo LKC: $\bar I_R + \bar I_C = 10 = \bar J$ ✓.

3. Sinusoidi

$5(1 - j) = 5\sqrt2\, e^{-j\pi/4}$ e $5(1 + j) = 5\sqrt2\, e^{j\pi/4}$ :

$\boxed{i_R(t) = 10\cos\left(400t - \tfrac{\pi}{4}\right), \qquad i_C(t) = 10\cos\left(400t + \tfrac{\pi}{4}\right)}$

4. Osservazioni

$R$ e $C$ hanno impedenze di ugual modulo ( $25\ \Omega$ ), quindi si dividono la corrente in parti uguali in valore efficace ( $5\sqrt2 \approx 7{,}07\ \mathrm A$ ciascuno). Eppure $7{,}07 + 7{,}07 = 14{,}1 \ne 10$ : le due correnti sono sfasate di $\pi/2$ e si sommano come vettori ortogonali, $\sqrt{7{,}07^2 + 7{,}07^2} = 10$ .
La corrente del condensatore è in quadratura in anticipo su quella del resistore, cioè sulla tensione comune (che è in fase con $i_R$ ): coerente con "nel condensatore la corrente anticipa la tensione".

Teoria collegata

Reti in regime sinusoidale (metodo simbolico)