Domanda d'esame - transitorio di carica di un circuito RLC

Testo (domanda di teoria del compito del 20/02/2025). Transitorio di carica di un circuito R-L-C:

• disegnare lo schema circuitale e indicare i riferimenti adottati per tensioni e correnti;
• discutere l'analisi del circuito per $t < 0$ in regime stazionario e determinare le condizioni iniziali;
• ricavare l'equazione differenziale di rete dalle leggi di Kirchhoff e dalle equazioni dei bipoli per $t > 0$;
• al variare dello smorzamento indicare le condizioni di funzionamento del circuito e, per ciascuna, tracciare il grafico della tensione del condensatore.

Teoria: Circuiti del secondo ordine (RLC)Un circuito con un condensatore e un induttore (RLC serie o parallelo) è del secondo ordine: d²x/dt² + 2α dx/dt + ω0² x = u(t), con ω0 = 1/√(LC) e α = R/(2L) (serie) oppure α = G/(2C) = 1/(2RC) (parallelo). Le radici s = -α ± √(α² - ω0²) danno tre casi: sovrasmorzato (α > ω0, due esponenziali reali), critico (α = ω0, e^(-αt)(A1 + A2 t)), sottosmorzato (α < ω0, oscillazioni smorzate con pulsazione ωs = √(ω0² - α²)). Servono due condizioni iniziali: x(0+) e dx/dt(0+), che si ricavano da vC(0+) e iL(0+).Circuiti del secondo ordine (RLC) →.

1. Schema e riferimenti

Un GIT costante $E > 0$, un resistore $R$, un induttore $L$ e un condensatore $C$ in serie; un commutatore S che per $t < 0$ esclude il generatore (la maglia R–L–C è chiusa su se stessa) e in $t = 0$ lo inserisce. Un'unica corrente $i$ (uscente dal $+$ del GIT); $v_R$, $v_L$, $v_C$ con la convenzione dell'utilizzatore.

2. Analisi per $t < 0$ e condizioni iniziali

Per $t < 0$ la rete è a regime stazionario e non contiene generatori:

• l'induttore è un cortocircuito ($v_L = 0$), il condensatore un circuito aperto ($i_C = 0$);
• nella serie la corrente è quella del condensatore, quindi $i = 0$ e $v_R = R i = 0$;
• la LKT $v_R + v_L + v_C = 0$ dà $v_C = 0$.

$$i_L(0^-) = 0, \qquad v_C(0^-) = 0$$

In $t = 0$ le grandezze restano limitate, quindi le due variabili di stato sono continue: $i_L(0^+) = 0$, $v_C(0^+) = 0$.

3. Equazione differenziale per $t > 0$

$$\begin{cases} v_R + v_L + v_C = E \\ i_R = i_L = i_C = i \\ v_R = R\, i, \quad v_L = L\, \dfrac{di}{dt}, \quad i = C\, \dfrac{dv_C}{dt} \end{cases}$$

Sostituendo nella LKT: $RC\, \dot v_C + LC\, \ddot v_C + v_C = E$, cioè

$$\frac{d^2 v_C}{dt^2} + 2\alpha\, \frac{dv_C}{dt} + \omega_0^2\, v_C = \omega_0^2\, E, \qquad \alpha = \frac{R}{2L}, \quad \omega_0 = \frac{1}{\sqrt{LC}}$$

con le condizioni $v_C(0^+) = 0$ e $\dot v_C(0^+) = i_L(0^+)/C = 0$.

Soluzione particolare: $v_C = E$ (regime stazionario per $t > 0$: C aperto, corrente nulla, tutta la $E$ sul condensatore). Omogenea: dipende dalle radici di $s^2 + 2\alpha s + \omega_0^2 = 0$, cioè $s_{1,2} = -\alpha \pm \sqrt{\alpha^2 - \omega_0^2}$.

4. I tre regimi di funzionamento

Lo smorzamento si confronta con $\omega_0$; equivalentemente si confronta $R$ con la resistenza critica $R_c = 2\sqrt{L/C}$ (per cui $\alpha = \omega_0$).

Sovrasmorzato ($\alpha > \omega_0$, $R > R_c$): radici reali negative distinte,

$$v_C(t) = E + A_1 e^{s_1 t} + A_2 e^{s_2 t}, \quad A_1 = \frac{s_2}{s_1 - s_2}E, \quad A_2 = -\frac{s_1}{s_1 - s_2}E$$

La tensione parte con tangente orizzontale e sale a $E$ senza superarlo, con un flesso. Durata del transitorio: circa 5 volte la costante di tempo maggiore.

Criticamente smorzato ($\alpha = \omega_0$, $R = R_c$): radice doppia,

$$v_C(t) = E - E\,(1 + \alpha t)\, e^{-\alpha t}$$

Andamento simile al precedente, ma è il più rapido tra quelli che non superano $E$.

Sottosmorzato ($0 < \alpha < \omega_0$, $R < R_c$): radici complesse $-\alpha \pm j\omega_s$, $\omega_s = \sqrt{\omega_0^2 - \alpha^2}$,

$$v_C(t) = E - E\, e^{-\alpha t}\left[\cos \omega_s t + \frac{\alpha}{\omega_s} \sin \omega_s t\right]$$

La tensione supera $E$ e oscilla attorno a esso con pulsazione $\omega_s$ e ampiezza che decresce come $e^{-\alpha t}$; il primo massimo è a $t = \pi/\omega_s$ e vale $E\,(1 + e^{-\alpha\pi/\omega_s})$.

Come si ricavano A1 e A2 nel caso sottosmorzatoDa v_C(0) = 0 si ha E + A1 = 0, cioè A1 = -E. Da dv_C/dt(0) = 0 si ha -α A1 + ω_s A2 = 0, cioè A2 = α A1 / ω_s = -E α / ω_s..

5. Grafici (esempio numerico)

$E = 10\ \mathrm V$, $L = 25\ \mathrm{mH}$, $C = 10\ \mu\mathrm F$: $\omega_0 = 2000\ \mathrm{rad/s}$, $R_c = 2\sqrt{25 \cdot 10^{-3}/10^{-5}} = 100\ \Omega$. Tempo in millisecondi.

In tutti i casi il valore iniziale è $0$ con derivata nulla e il valore finale è $E$: cambia solo il modo di arrivarci.