Esercizio 2.2 - matrici R e T di un resistore in parallelo

Testo (Eserciziario, es. 2.2). Doppio bipolo con $R_c = 10\ \Omega$, convenzione degli utilizzatori a entrambe le porte.

1. Calcolare la matrice $[R]$.
2. Calcolare la matrice $[T]$ (trasmissione 1).

Figura (descritta). Il filo superiore collega direttamente 1 e 2, quello inferiore 1' e 2'. $R_c$ è verticale tra i due fili: è in parallelo a entrambe le porte.

Risultati: $[R] = \begin{bmatrix} 10 & 10 \\ 10 & 10 \end{bmatrix} \Omega$, $\quad [T] = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ \frac{1}{10}\ \mathrm S & 1 \end{bmatrix}$.

Teoria: Doppi bipoli e loro rappresentazioniUn doppio bipolo ha due porte e quattro grandezze (v1, i1, v2, i2) legate da due equazioni. Se è lineare e senza generatori interni (ideale inerte) le equazioni sono lineari omogenee: scegliendo quali due grandezze sono indipendenti si hanno sei rappresentazioni (matrici R, G, h, g, T, T'). Ogni parametro si calcola mettendo una porta a vuoto (corrente nulla) o in cortocircuito (tensione nulla). Reciproco: R12 = R21 (oppure det T = 1); simmetrico: anche R11 = R22. Serie di doppi bipoli: si sommano le R; parallelo: si sommano le G; cascata: si moltiplicano le T. Un doppio bipolo resistivo si sintetizza con tre resistori a T o a Π.Doppi bipoli e loro rappresentazioni →.

1. Matrice $[R]$

Le due porte sono collegate agli stessi due nodi, quindi $v_1 = v_2$ sempre, e su $R_c$ c'è proprio questa tensione. In $R_c$ scorre la somma delle correnti che entrano dalle due porte: $v_1 = v_2 = R_c (i_1 + i_2)$.

• Porta 2 aperta ($i_2 = 0$): $v_1 = v_2 = R_c i_1$, quindi $R_{11} = R_{21} = R_c = 10\ \Omega$.
• Porta 1 aperta ($i_1 = 0$): $v_1 = v_2 = R_c i_2$, quindi $R_{12} = R_{22} = R_c = 10\ \Omega$.

Non esiste $[G]$. $\det[R] = 10 \cdot 10 - 10 \cdot 10 = 0$, quindi $[R]$ non è invertibile. Il motivo fisico: le tensioni delle due porte sono sempre uguali, quindi non si possono scegliere come grandezze indipendenti. Infatti, mettendo in cortocircuito la porta 2 per calcolare $G_{11}$, anche $v_1$ diventerebbe zero, e $G_{11} = i_1/v_1$ non avrebbe senso.

2. Matrice $[T]$: si agisce sulla porta 2

Porta 2 aperta ($i_2 = 0$): $v_1 = v_2 = R_c i_1$.

$$A = \left.\frac{v_1}{v_2}\right|_{i_2 = 0} = 1, \qquad C = \left.\frac{i_1}{v_2}\right|_{i_2 = 0} = \frac{1}{R_c} = 0{,}1\ \mathrm S$$

Porta 2 in cortocircuito ($v_2 = 0$): anche $v_1 = 0$, e $R_c$ è cortocircuitato (corrente nulla). Tutta la corrente che entra da 1 esce dal cortocircuito in 2: $i_1 = -i_2$.

$$B = \left.\frac{v_1}{-i_2}\right|_{v_2 = 0} = 0\ \Omega, \qquad D = \left.\frac{i_1}{-i_2}\right|_{v_2 = 0} = 1$$

3. Osservazioni

• $AD - BC = 1 \cdot 1 - 0 \cdot 0{,}1 = 1$: reciproco. In più $A = D = 1$: simmetrico (anche da $[R]$: $R_{11} = R_{22}$, $R_{12} = R_{21}$). Ha senso: scambiando le porte la rete è identica.
• La matrice $\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 1/R & 1 \end{bmatrix}$ è quella "standard" di un resistore in parallelo (in derivazione): si riusa nella cascata dell'Esercizio 2.4 - matrice T di una rete a L.