Esercizio 2.12 - resistenza interna con un GCPT

Testo (Eserciziario, es. 2.12). Rete in regime stazionario con $R_1 = 63\ \mathrm{k\Omega}$, $R_2 = 1\ \mathrm{k\Omega}$, $R_3 = 2\ \mathrm{k\Omega}$, $R_4 = 100\ \mathrm{k\Omega}$, un GIC $J = 200\ \mu\mathrm A$ e un GCPT con $g = 31\ \mathrm{mS}$. Determinare la resistenza interna $R_i$ ai morsetti AB.

Figura (descritta). Filo in basso = B. Nodi: N (filo in alto interno), A (sotto $R_2$), T (filo più esterno in alto).

Risultato: $R_i = 1\ \mathrm{k\Omega}$.

Teoria: Reti con generatori pilotatiUna rete lineare con generatori pilotati si risolve con gli stessi metodi (Kirchhoff, nodi, anelli, sovrapposizione, Thévenin e Norton) aggiungendo un'equazione per ogni pilotato: quella che esprime la grandezza di controllo con le incognite. Nella sovrapposizione si spengono solo i generatori indipendenti; i pilotati restano sempre attivi. La resistenza equivalente non si trova con serie e parallelo: si usa un generatore di prova (R_eq = V*/I* con i generatori indipendenti spenti) oppure il rapporto v_0 / i_cc. Con i pilotati R_eq può venire anche negativa.Reti con generatori pilotati →.

0. $R_4$ non conta

$R_4$ è l'unico altro bipolo collegato al nodo T oltre al GCPT: è in serie a un generatore di corrente. La corrente in $R_4$ è per forza $g V_{R2}$, e la tensione su $R_4$ cambia solo il potenziale di T, che non interessa a nessun altro. Dal punto di vista della porta, il GCPT agisce come se fosse collegato direttamente tra B e A.

1. Generatore di prova

$J$ spento (aperto). GIT di prova: $V_A = V^*$, $V_B = 0$.

Nodo N. Restano solo $R_1$ (verso B) e $R_2$ (verso A): sono in serie, e N è un partitore di tensione tra A e B:

$$V_N = V^* \frac{R_1}{R_1 + R_2} = \frac{63}{64} V^*, \qquad V_{R2} = V_N - V_A = -\frac{V^*}{64}$$

LKC nel nodo A. Entrano: la corrente di prova $I^*$, quella del GCPT $g V_{R2}$, quella da N attraverso $R_2$, cioè $V_{R2}/R_2$. Esce quella in $R_3$:

$$I^* + g V_{R2} + \frac{V_{R2}}{R_2} = \frac{V^*}{R_3}$$

$$I^* = \frac{V^*}{R_3} - \left(g + \frac{1}{R_2}\right) V_{R2} = \frac{V^*}{2000} + \left(0{,}031 + 0{,}001\right) \frac{V^*}{64} = V^* \left(0{,}0005 + 0{,}0005\right) = 0{,}001\, V^*$$

$$\boxed{R_i = 1\ \mathrm{k\Omega}}$$

Interpretazione. Il ramo $R_2$–$R_1$ ($64\ \mathrm{k\Omega}$) da solo porterebbe pochissima corrente ($V^*/64000$). Ma la piccola tensione $V_{R2}$ comanda il GCPT, che con $g = 31\ \mathrm{mS}$ assorbe $31$ volte di più: in tutto quel ramo "sembra" di $64\ \mathrm{k\Omega} / 32 = 2\ \mathrm{k\Omega}$, che in parallelo a $R_3 = 2\ \mathrm{k\Omega}$ dà $1\ \mathrm{k\Omega}$. I valori del testo sono scelti apposta per questo.