Esercizio 3.12 - wattmetro a valore medio

Testo (Eserciziario, es. 3.12). Rete a regime sinusoidale con $R = 10\ \Omega$, $L = 20\ \mathrm{mH}$, $C = 100\ \mu\mathrm F$ e il GIC $j(t) = 10\cos\left(1000t + \frac{\pi}{4}\right)$. Calcolare il valore $P_W$ letto dal wattmetro ideale a valore medio.

Figura (descritta). A sinistra il GIC (freccia in giù). A destra, tra il filo superiore e quello inferiore, due rami in parallelo: $R$ in serie a $C$, e $L$. Il wattmetro ha i morsetti amperometrici sul filo superiore (la corrente misurata va dal lato del GIC verso i due rami, entrando nel morsetto contrassegnato) e quelli voltmetrici tra il filo superiore ($+$) e quello inferiore.

Risultato: $P_W = 1000\ \mathrm W$.

Teoria: Potenza in regime sinusoidaleCon v e i sinusoidali la potenza istantanea p(t) = VI cos φ + VI cos(2ωt + φv + φi) oscilla a pulsazione 2ω. La sua media è la potenza attiva P = VI cos φ (watt). La potenza complessa Ṡ = V̄ Ī* = P + jQ ha per parte immaginaria la potenza reattiva Q = VI sin φ (VAR) e per modulo la potenza apparente S = VI (VA). cos φ = P/S è il fattore di potenza. Con un'impedenza: P = R I², Q = X I²; Q_L = ωL I² > 0, Q_C = -ωC V² < 0. In una rete si conservano la potenza complessa, attiva e reattiva (teorema di Boucherot).Potenza in regime sinusoidale →.

1. Cosa misura il wattmetro

Con la corrente misurata che entra nei rami di destra e la tensione presa con il $+$ in alto, il wattmetro legge la potenza attiva entrante nel gruppo dei due rami $R$–$C$ e $L$. Poiché $L$ e $C$ non assorbono potenza attiva, è la potenza dissipata in $R$.

2. Rete simbolica

Fasore del generatore. Ampiezza $10$, quindi valore efficace $10/\sqrt2 = 5\sqrt2$:

$$\bar J = 5\sqrt2\, e^{j\pi/4} = 5 + j5$$

Impedenze a $\omega = 1000\ \mathrm{rad/s}$: $\dot Z_L = j20$, $\ \dot Z_C = -\frac{j}{1000 \cdot 10^{-4}} = -j10$, $\ \dot Z_R = 10$.

Ammettenze dei due rami:

$$\dot Y_{RC} = \frac{1}{10 - j10} = \frac{10 + j10}{200} = 0{,}05 + j0{,}05, \qquad \dot Y_L = \frac{1}{j20} = -j0{,}05$$

$$\dot Y = 0{,}05 + j0{,}05 - j0{,}05 = 0{,}05\ \mathrm S$$

Le suscettanze si annullano: visto dal generatore il gruppo è un resistore da $20\ \Omega$.

3. Tensione e potenza

Il GIC fissa la corrente totale nel gruppo (in modulo $J = 5\sqrt2$); la tensione ha modulo

$$V = \frac{J}{|\dot Y|} = \frac{5\sqrt2}{0{,}05} = 100\sqrt2\ \mathrm V$$

(il verso del GIC cambia solo il segno del fasore, non il modulo). La potenza attiva entrante nel gruppo è $G V^2$:

$$\boxed{P_W = \mathrm{Re}(\dot Y)\, V^2 = 0{,}05 \cdot 20\,000 = 1000\ \mathrm W}$$

4. Verifica sul resistore

Nel ramo $R$–$C$: $I_{RC} = V\, |\dot Y_{RC}| = 100\sqrt2 \cdot 0{,}05\sqrt2 = 10\ \mathrm A$, quindi $P_R = R\, I_{RC}^2 = 10 \cdot 100 = 1000\ \mathrm W$ ✓.

Potenza reattiva dei due rami: $Q_L = \frac{V^2}{\omega L} = \frac{20\,000}{20} = 1000\ \mathrm{VAR}$, $\ Q_C = -\frac{I_{RC}^2}{\omega C} = -10 \cdot 100 = -1000\ \mathrm{VAR}$. Si compensano esattamente: è un piccolo esempio di rifasamentoRifasare un carico ohmico-induttivo (P, cos φ) vuol dire mettergli in parallelo un condensatore che fornisca parte della sua potenza reattiva: P resta uguale, Q e la corrente di linea diminuiscono. Per portare il fattore di potenza da cos φ a cos φ': C = P (tan φ - tan φ') / (ω V²); rifasamento completo con tan φ' = 0. Massimo trasferimento di potenza attiva: un carico Ż collegato a un equivalente di Thévenin (Ē_eq, Ż_eq) riceve la massima potenza attiva quando Ż = Ż_eq* (impedenza coniugata), e allora P_max = E_eq² / (4 R_eq).Rifasamento e massimo trasferimento di potenza attiva → completo.