Esercizio 2.14 - resistenza interna con un GCPC in parallelo

Testo (Eserciziario, es. 2.14). Rete in regime stazionario con $R_1 = 50\ \Omega$, $R_2 = 200\ \Omega$, $R_3 = 200\ \Omega$, un GIT $E = 5\ \mathrm V$ e un GCPC con $\beta = 2$. Determinare la resistenza interna $R_i$ ai morsetti AB.

Figura (descritta). Filo in alto = A, filo in basso = B. Tra i due fili, da sinistra: il ramo $R_1$ + $E$ ($R_1$ in alto, $E$ in basso con il $+$ verso $R_1$); $R_2$ con $I_{R2}$ verso il basso; il GCPC $\beta I_{R2}$ con freccia in giù; $R_3$.

Risultato: $R_i = 25\ \Omega$.

Teoria: Reti con generatori pilotatiUna rete lineare con generatori pilotati si risolve con gli stessi metodi (Kirchhoff, nodi, anelli, sovrapposizione, Thévenin e Norton) aggiungendo un'equazione per ogni pilotato: quella che esprime la grandezza di controllo con le incognite. Nella sovrapposizione si spengono solo i generatori indipendenti; i pilotati restano sempre attivi. La resistenza equivalente non si trova con serie e parallelo: si usa un generatore di prova (R_eq = V*/I* con i generatori indipendenti spenti) oppure il rapporto v_0 / i_cc. Con i pilotati R_eq può venire anche negativa.Reti con generatori pilotati →.

Generatore di prova

$E$ spento: resta $R_1$. Ora tutti i bipoli sono in parallelo tra A e B, con la stessa tensione $V^*$.

Correnti verso il basso:

• $R_1$: $V^*/50$;
• $R_2$: $I_{R2} = V^*/200$;
• GCPC: $\beta I_{R2} = 2 \cdot V^*/200 = V^*/100$;
• $R_3$: $V^*/200$.

$$I^* = V^* \left( \frac{1}{50} + \frac{1}{200} + \frac{1}{100} + \frac{1}{200} \right) = V^* \cdot \frac{4 + 1 + 2 + 1}{200} = \frac{V^*}{25}$$

$$\boxed{R_i = 25\ \Omega}$$

Interpretazione. Il GCPC porta una corrente proporzionale alla tensione ai suoi capi (perché $I_{R2} = V/R_2$): si comporta come un resistore da $R_2/\beta = 100\ \Omega$. Il gruppo $R_2$ + GCPC equivale quindi a $R_2 / (1 + \beta) = 66{,}7\ \Omega$. In generale, un pilotato la cui grandezza di controllo è proporzionale alla sua stessa tensione (o corrente) equivale a un resistore.