Sinusoidi e fasori

Dispensa, capitolo 18. Apre la parte sul regime sinusoidale; prosegue con Impedenza e ammettenzaIn regime sinusoidale, con i fasori e la convenzione dell'utilizzatore: resistore V̄ = R Ī (in fase), induttore V̄ = jωL Ī (tensione in anticipo di π/2), condensatore Ī = jωC V̄ (corrente in anticipo di π/2). In generale V̄ = Ż Ī: l'impedenza Ż = R + jX (resistenza e reattanza, in ohm) e l'ammettenza Ẏ = 1/Ż = G + jB (conduttanza e suscettanza, in siemens). X_L = ωL > 0, X_C = -1/(ωC) < 0. Un bipolo passivo ha Re(Ż) ≥ 0, cioè -π/2 ≤ φ ≤ π/2. Le leggi di Kirchhoff valgono sui fasori.Impedenza e ammettenza →, Potenza in regime sinusoidaleCon v e i sinusoidali la potenza istantanea p(t) = VI cos φ + VI cos(2ωt + φv + φi) oscilla a pulsazione 2ω. La sua media è la potenza attiva P = VI cos φ (watt). La potenza complessa Ṡ = V̄ Ī* = P + jQ ha per parte immaginaria la potenza reattiva Q = VI sin φ (VAR) e per modulo la potenza apparente S = VI (VA). cos φ = P/S è il fattore di potenza. Con un'impedenza: P = R I², Q = X I²; Q_L = ωL I² > 0, Q_C = -ωC V² < 0. In una rete si conservano la potenza complessa, attiva e reattiva (teorema di Boucherot).Potenza in regime sinusoidale → e Reti in regime sinusoidale (metodo simbolico)Metodo simbolico: (1) si scrivono tutte le sinusoidi in coseno (o tutte in seno) e se ne calcolano i fasori; (2) ogni bipolo passivo diventa un'impedenza (R, jωL, -j/ωC); (3) si risolve la rete simbolica con i metodi delle reti resistive (serie e parallelo, partitori, nodi, anelli, sovrapposizione, Thévenin e Norton), facendo i conti con i numeri complessi; (4) si torna alle sinusoidi. Serie: Ż = ΣŻk; parallelo: Ẏ = ΣẎk. Ogni impedenza equivale a una sintesi serie (R + L o R + C) o parallelo. Si conservano le potenze complessa, attiva e reattiva.Reti in regime sinusoidale (metodo simbolico) →.

Perché il regime sinusoidale

Una rete è in regime sinusoidale quando tutte le tensioni e le correnti sono sinusoidi con la stessa frequenza. È il caso delle reti di distribuzione dell'energia ($50\ \mathrm{Hz}$ in Europa) e di moltissimi segnali delle telecomunicazioni.

Due motivi lo rendono centrale:

1. nei transitoriUna rete con un solo condensatore o un solo induttore è del primo ordine: la variabile di stato x(t) soddisfa dx/dt + x/T = b(t). Con generatori costanti la soluzione è x(t) = x∞ + [x(0) - x∞] e^(-t/T): valore finale (regime stazionario per t > 0) più un transitorio esponenziale. La costante di tempo è T = R C per il condensatore e T = L / R per l'induttore, dove R è la resistenza di Thévenin vista dal componente dinamico. Dopo 4-5 costanti di tempo il transitorio è esaurito. Carica RC: vC = E(1 - e^(-t/RC)); scarica: vC = V0 e^(-t/RC); duali per RL.Circuiti del primo ordine (RC e RL) → con generatori sinusoidali, quando il transitorio si è esaurito resta il regime permanente sinusoidale, che è la soluzione particolare;
2. un segnale periodico qualsiasi si scompone (serie di Fourier) in un valore medio più sinusoidi di frequenze multiple: con una rete lineare si studia ogni frequenza separatamente e si sommano i risultati. Così, per esempio, si descrive un impianto hi-fi che deve lavorare tra $20\ \mathrm{Hz}$ e $20\ \mathrm{kHz}$.

Sinusoidi

$$a(t) = A_M \cos(\omega t + \varphi_a)$$

• $A_M \ge 0$ è l'ampiezza (valore massimo);
• $\omega > 0$ è la pulsazione in $\mathrm{rad/s}$; il periodo è $T = 2\pi/\omega$ e la frequenza $f = 1/T = \omega / 2\pi$ in hertz ($\mathrm{Hz} = \mathrm s^{-1}$);
• $\varphi_a$ è la fase in radianti, presa nell'intervallo $(-\pi, \pi]$.

Esempio: la rete elettrica a $f = 50\ \mathrm{Hz}$ ha $\omega = 2\pi \cdot 50 \approx 314\ \mathrm{rad/s}$ e $T = 20\ \mathrm{ms}$.

Si può scrivere tutto con il seno invece che con il coseno, ricordando $\sin(\gamma + \pi/2) = \cos\gamma$, cioè $\sin \theta = \cos(\theta - \pi/2)$. L'importante è scegliere una convenzione e usarla per tutte le sinusoidi: la dispensa usa il coseno; i testi d'esame spesso danno i generatori in seno, $e(t) = \sqrt2 E \sin(\omega t + \alpha)$.

Valore efficace

Il valore efficace (in inglese rms, root mean square) è la radice della media del quadrato su un periodo:

$$A = \sqrt{\frac{1}{T}\int_0^T a^2(t)\, dt}$$

Per una sinusoide, usando $\cos^2 x = \frac{1 + \cos 2x}{2}$ (la media del secondo termine su un periodo è zero):

$$A = \sqrt{\frac{A_M^2}{2}} = \frac{A_M}{\sqrt 2} \approx 0{,}707\, A_M$$

Perché è il valore che conta. Un resistore percorso da una corrente sinusoidale di valore efficace $I$ dissipa in media $R I^2$, la stessa potenza che dissiperebbe con una corrente continua $I$. Per questo i $230\ \mathrm V$ della rete domestica sono un valore efficace: l'ampiezza è $230\sqrt2 \approx 325\ \mathrm V$. D'ora in poi si scrive $a(t) = \sqrt2\, A \cos(\omega t + \varphi_a)$.

Sfasamento

Due sinusoidi della stessa frequenza $a(t) = \sqrt2 A\cos(\omega t + \varphi_a)$ e $b(t) = \sqrt2 B\cos(\omega t + \varphi_b)$ differiscono per l'ampiezza e per una traslazione nel tempo. Lo sfasamento (o anticipo di fase) di $a$ rispetto a $b$ è

$$\varphi_a - \varphi_b \quad \text{(riportato nell'intervallo } (-\pi, \pi] \text{ sommando o togliendo } 2\pi\text{)}$$

e corrisponde a uno spostamento nel tempo $\Delta t = (\varphi_a - \varphi_b)/\omega$.

Esempio: se $\varphi_a - \varphi_b$ risulta $-5\pi/4$, si somma $2\pi$ e lo sfasamento è $3\pi/4$.

Richiami sui numeri complessi

In elettrotecnica l'unità immaginaria si indica con $j$ ($j^2 = -1$), perché $i$ è la corrente. Un numero complesso si scrive:

• in forma cartesiana $\dot z = x + jy$;
• in forma polare $\dot z = \rho\, e^{j\theta} = \rho(\cos\theta + j\sin\theta)$ (formula di Eulero), con modulo $\rho = \sqrt{x^2 + y^2}$ e argomento $\theta \in (-\pi, \pi]$.

Per l'argomento attenzione al quadrante: $\theta = \arctan(y/x)$ solo se $x > 0$; se $x < 0$ si aggiunge $\pi$ (se $y > 0$) o si toglie $\pi$ (se $y < 0$); se $x = 0$, $\theta = \pm \pi/2$ secondo il segno di $y$.

Somme e differenze si fanno comodamente in forma cartesiana; prodotti e quozienti in forma polare (si moltiplicano i moduli e si sommano gli argomenti). Valori da ricordare: $j = e^{j\pi/2}$, $-j = \frac1j = e^{-j\pi/2}$, $-1 = e^{j\pi}$, $1 + j = \sqrt2\, e^{j\pi/4}$.

Fasori

Con la frequenza fissata, una sinusoide è individuata da due numeri: valore efficace $A$ e fase $\varphi_a$. Anche un numero complesso è individuato da due numeri (modulo e argomento). Si associa allora a ogni sinusoide il fasore

$$\boxed{\;a(t) = \sqrt2\, A \cos(\omega t + \varphi_a) \quad\longleftrightarrow\quad \bar A = A\, e^{j\varphi_a}\;}$$

con modulo uguale al valore efficace e argomento uguale alla fase. La corrispondenza è biunivoca; per tornare alla sinusoide:

$$a(t) = \mathrm{Re}\left[\sqrt2\, \bar A\, e^{j\omega t}\right]$$

Infatti $\sqrt2\, A e^{j\varphi_a} e^{j\omega t} = \sqrt2 A e^{j(\omega t + \varphi_a)}$, la cui parte reale è $\sqrt 2 A \cos(\omega t + \varphi_a)$.

Notazione. I fasori di tensioni e correnti si scrivono con il trattino sopra ($\bar V$, $\bar I$). Altri numeri complessi che non sono fasori (impedenze, potenza complessa) si scrivono con il punto sopra ($\dot Z$, $\dot S$).

Altre convenzioni. Con le sinusoidi in seno si usa $a(t) = \mathrm{Im}[\sqrt2\, \bar A\, e^{j\omega t}]$; con il modulo uguale all'ampiezza si toglie il $\sqrt2$. Le regole di calcolo non cambiano, e alla fine le sinusoidi trovate sono le stesse: conta solo essere coerenti. (Cambia invece la formula della potenza complessa, vedi Potenza in regime sinusoidaleCon v e i sinusoidali la potenza istantanea p(t) = VI cos φ + VI cos(2ωt + φv + φi) oscilla a pulsazione 2ω. La sua media è la potenza attiva P = VI cos φ (watt). La potenza complessa Ṡ = V̄ Ī* = P + jQ ha per parte immaginaria la potenza reattiva Q = VI sin φ (VAR) e per modulo la potenza apparente S = VI (VA). cos φ = P/S è il fattore di potenza. Con un'impedenza: P = R I², Q = X I²; Q_L = ωL I² > 0, Q_C = -ωC V² < 0. In una rete si conservano la potenza complessa, attiva e reattiva (teorema di Boucherot).Potenza in regime sinusoidale →.)

Vettore rotante. $\sqrt2\, \bar A\, e^{j\omega t}$ è un vettore di lunghezza $A_M$ che ruota in senso antiorario con velocità angolare $\omega$; la sinusoide è la sua proiezione sull'asse reale. Il fasore è la "fotografia" di quel vettore in $t = 0$ (diviso per $\sqrt 2$).

Esempi (coseno, valore efficace)

Operazioni sui fasori

Le leggi di Kirchhoff e le equazioni dei bipoli usano somme, prodotti per costanti reali e derivate. Su sinusoidi della stessa frequenza queste operazioni danno ancora sinusoidi della stessa frequenza, e sui fasori diventano:

Somma. $\mathrm{Re}[\sqrt2 \bar A e^{j\omega t}] + \mathrm{Re}[\sqrt2 \bar B e^{j\omega t}] = \mathrm{Re}[\sqrt2 (\bar A + \bar B) e^{j\omega t}]$. Graficamente si sommano i vettori con la regola del parallelogramma. Attenzione: i valori efficaci non si sommano: $|\bar A + \bar B| \ne A + B$ in generale.

Derivata. $\frac{d}{dt}\big[\sqrt2 A \cos(\omega t + \varphi_a)\big] = -\sqrt2 \omega A \sin(\omega t + \varphi_a) = \sqrt2\, \omega A \cos(\omega t + \varphi_a + \pi/2)$: il valore efficace si moltiplica per $\omega$ e la fase avanza di $\pi/2$. Moltiplicare per $j = e^{j\pi/2}$ fa esattamente questo. La derivata è in quadratura in anticipo sulla funzione.

La conseguenza decisiva. Con i fasori non c'è più il tempo (resta solo $\omega$ come parametro) e non ci sono più derivate: le equazioni differenziali della rete diventano equazioni algebriche lineari con coefficienti complessi. Si risolvono con le stesse tecniche delle reti resistive. È il metodo simbolico (o di Steinmetz).

Diagramma fasoriale

Rappresentare sullo stesso piano complesso i fasori delle tensioni e delle correnti di una rete dà il diagramma fasoriale: le tensioni in una scala, le correnti in un'altra, gli angoli rispettati. Spesso si disegnano i vettori "in coda" uno all'altro (vettori equipollenti) per visualizzare una LKT come un poligono chiuso.

Linearizzazione: analisi ai piccoli segnali

Il metodo funziona solo con componenti le cui equazioni sono compatibili con il regime sinusoidale (somme, prodotti per costanti, derivate). Un diodo, con $i = I_S\left(e^{v/\eta V_T} - 1\right)$, non lo è: una tensione sinusoidale produce una corrente non sinusoidale. Se però la tensione varia poco attorno a un punto di lavoro $(v_0, i_0)$, si approssima con la tangente (Taylor al primo ordine):

$$i - i_0 \approx g_d\,(v - v_0), \qquad g_d = \left.\frac{di}{dv}\right|_{v_0}$$

Per le piccole variazioni il diodo si comporta come un resistore di conduttanza $g_d$ (la conduttanza differenziale), e il regime sinusoidale torna applicabile.

Errori comuni

• Usare l'ampiezza come modulo del fasore quando la convenzione è il valore efficace (o viceversa): sbaglia tutto di $\sqrt 2$.
• Mescolare seno e coseno senza convertire prima.
• Sbagliare il quadrante dell'argomento con $\arctan$.
• Sommare i valori efficaci invece dei fasori.

Esercizi: Esercizio 3.1 - dalle sinusoidi ai fasori, Esercizio 3.2 - dai fasori alle sinusoidi.