Esercizio 3.16 - correnti di anello con un condensatore in serie al GIC

Testo (Eserciziario, es. 3.16). Stessa rete dell'Esercizio 3.14 - sovrapposizione con un condensatore in serie al GIC ($R = 10\ \Omega$, $L = 10\ \mathrm{mH}$, $C = 50\ \mu\mathrm F$, $e(t) = 50\sqrt2\cos(2000t + \frac{\pi}{2})$, $j(t) = 4\cos(2000t - \frac{\pi}{4})$): calcolare $Q_L$ con le correnti di anello.

Figura (descritta). A sinistra il GIC (freccia in giù); sul filo in alto $C$; ramo centrale $L$; ramo destro $R$ e il GIT ($-$ in alto, $+$ in basso).

Risultato: $Q_L = 52\ \mathrm{VAR}$.

Teoria: Metodo delle correnti di anelloPer reti piane: si associa a ogni anello (finestra del disegno) una corrente fittizia che lo percorre tutto, tutte nello stesso verso. Le correnti di lato sono somme algebriche delle correnti di anello, quindi le LKC sono automatiche; si scrivono le ℓ−n+1 LKT sugli anelli, per ispezione: autoresistenza × corrente dell'anello − Σ mutue resistenze × correnti degli anelli vicini = somma delle f.e.m. dei GIT percorsi dal − al +. Ogni GIC senza resistore in parallelo aggiunge come incognita la sua tensione e come equazione il legame tra la sua corrente e le correnti di anello (metodo modificato).Metodo delle correnti di anello →, Reti in regime sinusoidale (metodo simbolico)Metodo simbolico: (1) si scrivono tutte le sinusoidi in coseno (o tutte in seno) e se ne calcolano i fasori; (2) ogni bipolo passivo diventa un'impedenza (R, jωL, -j/ωC); (3) si risolve la rete simbolica con i metodi delle reti resistive (serie e parallelo, partitori, nodi, anelli, sovrapposizione, Thévenin e Norton), facendo i conti con i numeri complessi; (4) si torna alle sinusoidi. Serie: Ż = ΣŻk; parallelo: Ẏ = ΣẎk. Ogni impedenza equivale a una sintesi serie (R + L o R + C) o parallelo. Si conservano le potenze complessa, attiva e reattiva.Reti in regime sinusoidale (metodo simbolico) →.

1. Dati

$\bar E = j50$, $\bar J = 2 - j2$, $\dot Z_L = j20$, $\dot Z_C = -j10$, $R = 10$.

2. Anelli (senso orario)

• Anello 1 (sinistro): GIC, $C$, $L$. Il GIC è sul lato esterno con la freccia in giù, mentre in senso orario sul lato sinistro si sale: $\bar I_1 = -\bar J = -2 + j2$.
• Anello 2 (destro): $L$ (lato sinistro), $R$ e il GIT (lato destro).

LKT nell'anello 2. Su per $L$ (corrente verso l'alto $\bar I_2 - \bar I_1$), giù per $R$ (corrente $\bar I_2$), giù per il GIT dal $-$ al $+$ (caduta $-\bar E$):

$$\dot Z_L(\bar I_2 - \bar I_1) + R\, \bar I_2 - \bar E = 0 \quad\Longrightarrow\quad \bar I_2 = \frac{\bar E + \dot Z_L\, \bar I_1}{R + \dot Z_L}$$

$$\bar I_2 = \frac{j50 + j20(-2 + j2)}{10 + j20} = \frac{j50 - j40 - 40}{10 + j20} = \frac{-4 + j}{1 + 2j} = \frac{(-4 + j)(1 - 2j)}{5} = \frac{-2 + 9j}{5} = -0{,}4 + j1{,}8$$

Non serve la LKT dell'anello 1: la sua corrente è già fissata dal GIC (servirebbe solo per la tensione sul GIC, che contiene $\dot Z_C$; per questo $C$ non influisce su $Q_L$).

3. Corrente nell'induttore

Verso il basso in $L$: $\bar I_L = \bar I_1 - \bar I_2 = -2 + j2 + 0{,}4 - j1{,}8 = -1{,}6 + j0{,}2$.

$$\boxed{Q_L = 20\,(1{,}6^2 + 0{,}2^2) = 20 \cdot 2{,}6 = 52\ \mathrm{VAR}}$$