Esercizio 3.1 - dalle sinusoidi ai fasori

Testo (Eserciziario, es. 3.1). Ricavare i fasori (con modulo uguale al valore efficace) delle sinusoidi, dopo averle espresse in coseno se necessario:

1. $e_1(t) = 100\sqrt2 \cos(100 t)$
2. $e_2(t) = 10\sqrt2 \cos\left(1000 t - \frac{\pi}{3}\right)$
3. $e_3(t) = 100\sqrt2 \cos\left(100 t + \frac{\pi}{6}\right)$
4. $e_4(t) = 20 \cos\left(100 t + \frac34 \pi\right)$
5. $e_5(t) = 100\sqrt2 \sin(10 t)$

Risultati: $\bar E_1 = 100$, $\bar E_2 = 5 - j5\sqrt3$, $\bar E_3 = 50\sqrt3 + j50$, $\bar E_4 = -10 + j10$, $\bar E_5 = -j100$.

Teoria: Sinusoidi e fasoriUna rete è in regime sinusoidale se tutte le tensioni e correnti sono sinusoidi della stessa pulsazione ω. Una sinusoide a(t) = √2 A cos(ωt + φ) è individuata da due numeri, il valore efficace A = A_M/√2 e la fase φ, e quindi dal fasore Ā = A e^(jφ), un numero complesso. Si torna alla sinusoide con a(t) = Re[√2 Ā e^(jωt)]. Somme di sinusoidi diventano somme di fasori, la derivata diventa moltiplicazione per jω: le equazioni differenziali della rete diventano equazioni algebriche complesse (metodo simbolico).Sinusoidi e fasori →.

Il metodo

Per $a(t) = A_M\cos(\omega t + \varphi)$: valore efficace $A = A_M/\sqrt2$, fase $\varphi$, fasore $\bar A = A e^{j\varphi} = A(\cos\varphi + j\sin\varphi)$. La pulsazione non compare nel fasore: va ricordata a parte (qui le sinusoidi hanno pulsazioni diverse, quindi questi fasori non si potrebbero sommare tra loro).

Svolgimento

1. Ampiezza $100\sqrt2$, quindi valore efficace $100$; fase $0$: $\ \bar E_1 = 100\, e^{j0} = 100$.

2. Valore efficace $10$, fase $-\pi/3$: $$\bar E_2 = 10\left[\cos\left(-\tfrac{\pi}{3}\right) + j\sin\left(-\tfrac{\pi}{3}\right)\right] = 10\left(\tfrac12 - j\tfrac{\sqrt3}{2}\right) = 5 - j5\sqrt3$$

3. Valore efficace $100$, fase $\pi/6$: $$\bar E_3 = 100\left(\tfrac{\sqrt3}{2} + j\tfrac12\right) = 50\sqrt3 + j50$$

4. Attenzione: qui l'ampiezza è $20$, senza $\sqrt2$. Il valore efficace è $20/\sqrt2 = 10\sqrt2$: $$\bar E_4 = 10\sqrt2\left[\cos\tfrac{3\pi}{4} + j\sin\tfrac{3\pi}{4}\right] = 10\sqrt2\left(-\tfrac{\sqrt2}{2} + j\tfrac{\sqrt2}{2}\right) = -10 + j10$$

5. È un seno: prima si converte, $\sin\theta = \cos(\theta - \pi/2)$, quindi $e_5(t) = 100\sqrt2\cos\left(10t - \frac{\pi}{2}\right)$: $$\bar E_5 = 100\, e^{-j\pi/2} = -j100$$

Controllo con il piano complesso. $\bar E_4$ sta nel secondo quadrante (fase $3\pi/4$, parte reale negativa, immaginaria positiva) ✓; $\bar E_5$ sta sul semiasse immaginario negativo (fase $-\pi/2$) ✓.