Equazioni di stato e circuiti di ordine superiore

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Dispensa, capitolo 17. Generalizza le equazioni di stato introdotte in Circuiti del secondo ordine (RLC) a circuiti con un numero qualsiasi di componenti dinamici.

Ordine di un circuito

Un circuito con $n_C$ condensatori e $n_L$ induttori ha, in generale, ordine $n = n_C + n_L$ : tante sono le variabili di stato (tensioni dei condensatori, correnti degli induttori), e tante le condizioni iniziali da conoscere.

Attenzione: più condensatori in parallelo hanno la stessa tensione, quindi contano come uno solo ( $C_{eq} = \sum C_k$ ); più induttori in serie hanno la stessa corrente e contano come uno solo. In generale l'ordine cala ogni volta che esiste una maglia di soli condensatori (e generatori di tensione) o un taglio di soli induttori (e generatori di corrente), perché le variabili di stato non sono più tutte indipendenti.

Perché le equazioni di stato

Il sistema completo della rete (LKC, LKT ed equazioni dei bipoli) è fatto di equazioni algebriche e di $n$ equazioni differenziali del primo ordine (una per ogni componente dinamico). Per l'RLC lo si riduce a una sola equazione di ordine 2 in una sola incognita; per ordini più alti questa strada è impraticabile. Conviene invece ridurlo a $n$ equazioni del primo ordine nelle sole variabili di stato:

$\dot{\mathbf x} = [A]\, \mathbf x + [B]\, \mathbf u, \qquad \mathbf x = \begin{bmatrix} v_{C1} \\ \vdots \\ i_{L1} \\ \vdots \end{bmatrix}, \quad \mathbf u = \begin{bmatrix} e_1 \\ \vdots \\ j_1 \\ \vdots \end{bmatrix}$

$[A]$ è la matrice di stato ( $n \times n$ ), $[B]$ la matrice degli ingressi.

Come si scrivono: il circuito resistivo associato

In un dato istante le variabili di stato hanno un valore preciso. Allora:

si sostituisce ogni condensatore con un GIT di tensione $v_C$ e ogni induttore con un GIC di corrente $i_L$ ;
il circuito ottenuto (circuito resistivo associato) contiene solo resistori e generatori: si risolve con un metodo qualsiasi (nodi, anelli, sovrapposizione), trattando $v_C$ , $i_L$ e gli ingressi come noti;
se ne ricavano le correnti dei GIT al posto dei condensatori ( $i_C$ ) e le tensioni dei GIC al posto degli induttori ( $v_L$ ), come combinazioni lineari di variabili di stato e ingressi;
si usano le equazioni dei componenti: $\dot v_C = i_C / C$ e $\dot i_L = v_L / L$ .

Esempio della dispensa (ordine 3)

Circuito. Prima maglia: GIT $e_1 = 10\ \mathrm V$ (per $t > 0$ ), $R_1 = 2\ \Omega$ , $C_1 = 100\ \mu\mathrm F$ e l'induttore $L_3 = 10\ \mathrm{mH}$ . Seconda maglia: $L_3$ (in comune), $C_2 = 100\ \mu\mathrm F$ , $R_2 = 8\ \Omega$ . Tutto scarico in $t = 0$ .

Circuito resistivo associato. Con $C_1 \to$ GIT $v_{C1}$ , $C_2 \to$ GIT $v_{C2}$ , $L_3 \to$ GIC $i_{L3}$ :

$e_1 = R_1 i_{C1} + v_{C1} + v_{L3}, \qquad v_{L3} = v_{C2} + R_2 i_{C2}, \qquad i_{C1} = i_{C2} + i_{L3}$

(LKT nelle due maglie e LKC nel nodo dove si dividono le correnti). Risolvendo rispetto a $i_{C1}$ , $i_{C2}$ , $v_{L3}$ :

$i_{C1} = \tfrac{1}{10}(e_1 - v_{C1} - v_{C2}) + \tfrac45 i_{L3}, \quad i_{C2} = \tfrac{1}{10}(e_1 - v_{C1} - v_{C2}) - \tfrac15 i_{L3}, \quad v_{L3} = \tfrac45 e_1 - \tfrac45 v_{C1} + \tfrac15 v_{C2} - \tfrac85 i_{L3}$

Dividendo per $C_1$ , $C_2$ , $L_3$ :

$[A] = \begin{bmatrix} -1000 & -1000 & 8000 \\ -1000 & -1000 & -2000 \\ -80 & 20 & -160 \end{bmatrix}, \qquad [B] = \begin{bmatrix} 1000 \\ 1000 \\ 80 \end{bmatrix}$

Modi naturali e autovalori

In evoluzione libera ( $\mathbf u = 0$ ) si cercano soluzioni della forma $\mathbf x = \mathbf U\, e^{st}$ . Sostituendo: $s\, \mathbf U = [A]\, \mathbf U$ , cioè $s$ è un autovalore di $[A]$ e $\mathbf U$ un suo autovettore (vedi Algebra Lineare). Gli autovalori sono le radici di

$\det\big([A] - s\,[I]\big) = 0$

che coincide con il polinomio caratteristico dell'equazione di ordine $n$ della rete. La soluzione libera è una combinazione di modi naturali:

$\mathbf x(t) = \sum_{i=1}^{n} K_i\, \mathbf U_i\, e^{s_i t}$

(con un autovalore doppio compare anche un termine $t\, e^{s t}$ , come nel caso critico dell'RLC). Le costanti $K_i$ si trovano dalle condizioni iniziali. Con ingressi costanti si aggiunge la soluzione particolare, cioè il regime stazionario.

Nell'esempio gli autovalori sono $s_1 = -1910{,}5\ \mathrm s^{-1}$ e $s_{2,3} = -124{,}7 \pm j\,712{,}6\ \mathrm s^{-1}$ , e la soluzione per $v_{C1}$ è

$v_{C1}(t) = 10 - 4{,}42\, e^{-1910{,}5\, t} + e^{-124{,}7\, t}\,\big[-5{,}58 \cos(712{,}6\, t) + 1{,}21 \sin(712{,}6\, t)\big]\ \mathrm V$

(il valore finale $10\ \mathrm V$ viene dal regime stazionario: $L_3$ in corto, $C_1$ e $C_2$ aperti, quindi $v_{C1} = e_1$ e $v_{C2} = 0$ ).

Grafico interattivo: v_C1 [V] in funzione di t [ms] (circuito del terzo ordine)

Che autovalori possono comparire. Circuiti con soli condensatori e resistori (o soli induttori e resistori, anche con trasformatori ideali) hanno solo autovalori reali: niente oscillazioni. Servono almeno un condensatore e un induttore perché compaiano autovalori complessi.

Stabilità

Definizione	Condizione sugli autovalori	Significato
stabile	tutte le parti reali $\le 0$	l'evoluzione libera resta limitata
assolutamente stabile (dissipativo)	tutte le parti reali $< 0$	ogni modo si spegne; l'energia immagazzinata tende a zero
instabile	almeno una parte reale $> 0$	almeno un modo cresce senza limite

Gli RLC serie e parallelo con $R > 0$ sono assolutamente stabili; il circuito LC ( $R = 0$ ) è solo stabile (oscilla per sempre); con resistori attivi ( $R < 0$ ) o generatori pilotati il circuito può essere instabile.
In un circuito assolutamente stabile la costante di tempo dominante è la più grande tra le $T_i = 1/\alpha_i$ (con $s_i = -\alpha_i + j\omega_i$ ) e fissa la durata del transitorio: nell'esempio $1/124{,}7 \approx 8\ \mathrm{ms}$ , quindi il transitorio dura circa $40\ \mathrm{ms}$ .
Condizione sufficiente per l'assoluta stabilità (con resistori passivi): in evoluzione libera non deve esistere nessuna maglia e nessun taglio privi di resistori. Controesempio: due condensatori in serie chiusi su un resistore possono avere $v_{C1} = V$ e $v_{C2} = -V$ : la serie ha tensione nulla, nel resistore non passa corrente e l'energia resta intrappolata per sempre.

Soluzione numerica

Con ingressi qualsiasi, o per circuiti grandi, le equazioni di stato si integrano numericamente. Il metodo più semplice è Eulero esplicito: si approssima la derivata con un rapporto incrementale su un passo $\Delta t$ piccolo rispetto alle costanti di tempo,

$\mathbf x_{k+1} = \mathbf x_k + \Delta t\,\big([A]\, \mathbf x_k + [B]\, \mathbf u_k\big)$

python

import numpy as np
A = np.array([[-1000, -1000, 8000], [-1000, -1000, -2000], [-80, 20, -160]], dtype=float)
B = np.array([1000, 1000, 80], dtype=float)
e = 10.0
dt, N = 1e-6, 50000          # passo 1 us, 50 ms in tutto
x = np.zeros(3)              # vC1, vC2, iL3 scarichi in t = 0
for k in range(N):
    x = x + dt * (A @ x + B * e)   # metodo di Eulero esplicito
print("dopo 50 ms: vC1 = %.3f V, vC2 = %.3f V, iL3 = %.4f A" % tuple(x))
# dopo 50 ms: vC1 = 10.003 V, vC2 = -0.007 V, iL3 = -0.0015 A

Dopo $50\ \mathrm{ms}$ (circa sei costanti di tempo dominanti) si è praticamente al regime ( $10\ \mathrm V$ , $0$ , $0$ ).

Il passo deve essere piccolo rispetto alla costante di tempo più piccola ( $1/1910 \approx 0{,}5\ \mathrm{ms}$ qui), altrimenti Eulero esplicito diventa instabile; i simulatori usano metodi più robusti (Eulero implicito, trapezi).

Metodi sistematici. I simulatori circuitali come SPICE non scrivono le equazioni di stato a mano: usano il metodo di tableau o l'analisi nodale modificata (MNA) direttamente nel dominio del tempo. A ogni passo ogni condensatore e induttore viene sostituito da un modello "resistore più generatore" ottenuto discretizzando la sua equazione, e si risolve una rete resistiva con la MNA.

Teoria collegata

Circuiti del secondo ordine (RLC)