Esercizio 3.4 - impedenza equivalente con ammettenze

Testo (Eserciziario, es. 3.4). Rete a regime sinusoidale con $R_1 = 10\ \Omega$, $R_2 = 40\ \Omega$, $L = 20\ \mathrm{mH}$, $C_1 = 20\ \mu\mathrm F$, $C_2 = 50\ \mu\mathrm F$, $\omega = 2000\ \mathrm{rad/s}$. Calcolare l'impedenza equivalente tra A e B.

Figura (descritta). Da A, il condensatore $C_1$ in serie; poi tre rami in parallelo fino a B: $R_1$ in serie a $C_2$, il resistore $R_2$, l'induttore $L$.

Risultato: $\dot Z_{AB} = 12 - j29\ \Omega$.

Teoria: Impedenza e ammettenzaIn regime sinusoidale, con i fasori e la convenzione dell'utilizzatore: resistore V̄ = R Ī (in fase), induttore V̄ = jωL Ī (tensione in anticipo di π/2), condensatore Ī = jωC V̄ (corrente in anticipo di π/2). In generale V̄ = Ż Ī: l'impedenza Ż = R + jX (resistenza e reattanza, in ohm) e l'ammettenza Ẏ = 1/Ż = G + jB (conduttanza e suscettanza, in siemens). X_L = ωL > 0, X_C = -1/(ωC) < 0. Un bipolo passivo ha Re(Ż) ≥ 0, cioè -π/2 ≤ φ ≤ π/2. Le leggi di Kirchhoff valgono sui fasori.Impedenza e ammettenza →.

1. Impedenze

$$\dot Z_{C1} = -\frac{j}{2000 \cdot 20 \cdot 10^{-6}} = -j25, \quad \dot Z_{C2} = -\frac{j}{2000 \cdot 50 \cdot 10^{-6}} = -j10, \quad \dot Z_L = j \cdot 2000 \cdot 0{,}02 = j40$$

2. Il parallelo di tre rami: meglio le ammettenze

Con tre rami in parallelo conviene sommare le ammettenze invece di applicare due volte la formula prodotto/somma.

• Ramo $R_1$–$C_2$: $\dot Z_1 = 10 - j10$. Per invertirlo si moltiplica per il coniugato: $$\dot Y_1 = \frac{1}{10(1 - j)} \cdot \frac{1 + j}{1 + j} = \frac{1 + j}{10 \cdot 2} = \frac{1 + j}{20}\ \mathrm S$$
• $R_2$: $\dot Y_{R2} = \frac{1}{40}\ \mathrm S$.
• $L$: $\dot Y_L = \frac{1}{j40} = -\frac{j}{40}\ \mathrm S$ (perché $\frac1j = -j$).

$$\dot Y_2 = \frac{1 + j}{20} + \frac{1}{40} - \frac{j}{40} = \frac{2 + 2j + 1 - j}{40} = \frac{3 + j}{40}\ \mathrm S$$

$$\dot Z_2 = \frac{40}{3 + j} \cdot \frac{3 - j}{3 - j} = \frac{40(3 - j)}{10} = 12 - j4\ \Omega$$

3. Serie con $C_1$

$$\boxed{\dot Z_{AB} = -j25 + 12 - j4 = 12 - j29\ \Omega}$$

Osservazione. Nel parallelo la suscettanza del ramo capacitivo ($+\frac{1}{20}$) e quella dell'induttore ($-\frac{1}{40}$) si compensano in parte: è il motivo per cui il parallelo ha una reattanza piccola ($-4\ \Omega$) pur contenendo reattanze di decine di ohm.