Esercizio 3.19 - Thévenin e wattmetro in regime sinusoidale

Testo (Eserciziario, es. 3.19). Rete a regime sinusoidale con $R = 10\ \Omega$, $L = 10\ \mathrm{mH}$, $C = 200\ \mu\mathrm F$, $e_1(t) = 15\sqrt2\cos\left(1000t + \frac{\pi}{2}\right)$, $e_2(t) = 10\cos\left(1000t + \frac34\pi\right)$, $j(t) = 4\sqrt2\sin(1000t + \pi)$. Calcolare il valore $P_W$ letto dal wattmetro ideale a valore medio.

Figura (descritta). Filo in basso = riferimento.

Risultato: $P_W = 140\ \mathrm W$.

Teoria: Teoremi di Thévenin e di NortonUna rete resistiva lineare vista da due morsetti equivale (Thévenin) a un GIT in serie a un resistore: la f.e.m. è la tensione a vuoto v_0 e il resistore è la resistenza interna R_eq, cioè la resistenza vista dai morsetti con tutti i generatori indipendenti spenti. Equivale anche (Norton) a un GIC in parallelo a un resistore: la corrente è quella di cortocircuito i_cc e la conduttanza è G_eq = 1/R_eq. Vale R_eq = v_0 / i_cc.Teoremi di Thévenin e di Norton →, Reti in regime sinusoidale (metodo simbolico)Metodo simbolico: (1) si scrivono tutte le sinusoidi in coseno (o tutte in seno) e se ne calcolano i fasori; (2) ogni bipolo passivo diventa un'impedenza (R, jωL, -j/ωC); (3) si risolve la rete simbolica con i metodi delle reti resistive (serie e parallelo, partitori, nodi, anelli, sovrapposizione, Thévenin e Norton), facendo i conti con i numeri complessi; (4) si torna alle sinusoidi. Serie: Ż = ΣŻk; parallelo: Ẏ = ΣẎk. Ogni impedenza equivale a una sintesi serie (R + L o R + C) o parallelo. Si conservano le potenze complessa, attiva e reattiva.Reti in regime sinusoidale (metodo simbolico) →, Potenza in regime sinusoidaleCon v e i sinusoidali la potenza istantanea p(t) = VI cos φ + VI cos(2ωt + φv + φi) oscilla a pulsazione 2ω. La sua media è la potenza attiva P = VI cos φ (watt). La potenza complessa Ṡ = V̄ Ī* = P + jQ ha per parte immaginaria la potenza reattiva Q = VI sin φ (VAR) e per modulo la potenza apparente S = VI (VA). cos φ = P/S è il fattore di potenza. Con un'impedenza: P = R I², Q = X I²; Q_L = ωL I² > 0, Q_C = -ωC V² < 0. In una rete si conservano la potenza complessa, attiva e reattiva (teorema di Boucherot).Potenza in regime sinusoidale →.

1. Rete simbolica

• $\bar E_1 = 15\, e^{j\pi/2} = j15$.
• $\bar E_2$: ampiezza $10$, valore efficace $5\sqrt2$: $\ \bar E_2 = 5\sqrt2\, e^{j3\pi/4} = -5 + j5$.
• $j(t)$ è un seno: $4\sqrt2 \sin(1000t + \pi) = 4\sqrt2\cos\left(1000t + \frac{\pi}{2}\right)$, quindi $\bar J = 4\, e^{j\pi/2} = j4$.
• $\dot Z_C = -\frac{j}{1000 \cdot 2 \cdot 10^{-4}} = -j5$, $\ \dot Z_L = j10$, $\ R = 10$.

Il wattmetro legge $P_W = \mathrm{Re}\left(\bar U_Q\, \bar I^*\right)$, dove $\bar I$ è la corrente da Q verso M (i suoi morsetti amperometrici sono un cortocircuito, quindi $\bar U_M = \bar U_Q$). È la potenza attiva che passa dalla parte sinistra alla parte destra.

2. Equivalente di Thévenin della parte sinistra (vista da Q)

A vuoto (nessuna corrente verso M): il GIC preleva $\bar J$ da P verso il basso, quindi in $C$ la corrente sale e vale $\bar J$; con la convenzione dell'utilizzatore su $C$ (corrente verso il basso $-\bar J$):

$$\bar U_P = \dot Z_C\, (-\bar J) = (-j5)(-j4) = -20$$

Il GIT $e_1$ ha il $+$ verso P: $\bar U_Q = \bar U_P - \bar E_1 = -20 - j15$.

Impedenza: generatori spenti, da Q si vede solo $C$ (il GIC aperto, $e_1$ in corto): $\dot Z_s = -j5$.

3. Equivalente di Thévenin della parte destra (vista da M)

A vuoto: maglia $R$ – $L$ – $e_2$; partitore su $R$:

$$\bar U_{d0} = \bar E_2\, \frac{R}{R + \dot Z_L} = \frac{(-5 + j5) \cdot 10}{10 + j10} = \frac{-5 + j5}{1 + j} = \frac{(-5 + j5)(1 - j)}{2} = j5$$

Impedenza: $\dot Z_d = R \parallel \dot Z_L = \frac{10 \cdot j10}{10 + j10} = 5 + j5$.

4. La maglia equivalente

Collegando i due equivalenti attraverso il wattmetro:

$$\bar I = \frac{\bar U_{Q0} - \bar U_{d0}}{\dot Z_s + \dot Z_d} = \frac{-20 - j15 - j5}{-j5 + 5 + j5} = \frac{-20 - j20}{5} = -4 - j4\ \mathrm A$$

$$\bar U_M = \bar U_{d0} + \dot Z_d\, \bar I = j5 + (5 + j5)(-4 - j4) = j5 - j40 = -j35\ \mathrm V$$

Il prodotto (5 + j5)(-4 - j4)5 per (-4 - j4) = -20 - j20; j5 per (-4 - j4) = -j20 + 20. Somma: -j40..

5. Lettura del wattmetro

$$P_W = \mathrm{Re}\left[\bar U_M\, \bar I^*\right] = \mathrm{Re}\left[(-j35)(-4 + j4)\right] = \mathrm{Re}\left[j140 + 140\right]$$

$$\boxed{P_W = 140\ \mathrm W}$$

Verifica. La potenza attiva che entra nella parte destra finisce tutta in $R$ (unico elemento dissipativo a destra, $e_2$ a parte): $\bar U_M$ è la tensione su $R$, quindi $P_R = \frac{35^2}{10} = 122{,}5\ \mathrm W$. La differenza $140 - 122{,}5 = 17{,}5\ \mathrm W$ è assorbita da $e_2$: la corrente in $L$ da M verso N è $\frac{\bar U_M - \bar E_2}{j10} = \frac{5 - j40}{j10} = -4 - j0{,}5$, e $\mathrm{Re}[\bar E_2 (-4 - j0{,}5)^*] = \mathrm{Re}[(-5 + j5)(-4 + j0{,}5)] = 20 - 2{,}5 = 17{,}5\ \mathrm W$ ✓.