Esercizio 3.3 - impedenza equivalente di una rete RL

Testo (Eserciziario, es. 3.3). Rete a regime sinusoidale con $R_1 = 60\ \Omega$, $R_2 = 20\ \Omega$, $L_1 = 60\ \mathrm{mH}$, $L_2 = 20\ \mathrm{mH}$, $C = 25\ \mu\mathrm F$, $\omega = 1000\ \mathrm{rad/s}$. Calcolare l'impedenza equivalente tra A e B.

Figura (descritta). Da A, il condensatore $C$ in serie; poi due rami in parallelo che arrivano a B: il ramo $R_1$–$L_1$ (in serie) e il ramo $R_2$–$L_2$ (in serie).

Risultato: $\dot Z_{AB} = 15 - j25\ \Omega$.

Teoria: Impedenza e ammettenzaIn regime sinusoidale, con i fasori e la convenzione dell'utilizzatore: resistore V̄ = R Ī (in fase), induttore V̄ = jωL Ī (tensione in anticipo di π/2), condensatore Ī = jωC V̄ (corrente in anticipo di π/2). In generale V̄ = Ż Ī: l'impedenza Ż = R + jX (resistenza e reattanza, in ohm) e l'ammettenza Ẏ = 1/Ż = G + jB (conduttanza e suscettanza, in siemens). X_L = ωL > 0, X_C = -1/(ωC) < 0. Un bipolo passivo ha Re(Ż) ≥ 0, cioè -π/2 ≤ φ ≤ π/2. Le leggi di Kirchhoff valgono sui fasori.Impedenza e ammettenza →, Reti in regime sinusoidale (metodo simbolico)Metodo simbolico: (1) si scrivono tutte le sinusoidi in coseno (o tutte in seno) e se ne calcolano i fasori; (2) ogni bipolo passivo diventa un'impedenza (R, jωL, -j/ωC); (3) si risolve la rete simbolica con i metodi delle reti resistive (serie e parallelo, partitori, nodi, anelli, sovrapposizione, Thévenin e Norton), facendo i conti con i numeri complessi; (4) si torna alle sinusoidi. Serie: Ż = ΣŻk; parallelo: Ẏ = ΣẎk. Ogni impedenza equivale a una sintesi serie (R + L o R + C) o parallelo. Si conservano le potenze complessa, attiva e reattiva.Reti in regime sinusoidale (metodo simbolico) →.

1. Le impedenze dei bipoli

$$\dot Z_{R1} = 60, \quad \dot Z_{R2} = 20, \quad \dot Z_{L1} = j\omega L_1 = j60, \quad \dot Z_{L2} = j20, \quad \dot Z_C = -\frac{j}{\omega C} = -\frac{j}{1000 \cdot 25 \cdot 10^{-6}} = -j40$$

(tutte in ohm).

2. Riduzione

Rami in serie: $\dot Z_1 = 60 + j60 = 60(1 + j)$, $\ \dot Z_2 = 20 + j20 = 20(1 + j)$.

Parallelo: i due rami hanno lo stesso fattore $(1 + j)$, quindi il conto si semplifica:

$$\dot Z_3 = \frac{\dot Z_1 \dot Z_2}{\dot Z_1 + \dot Z_2} = \frac{60(1+j) \cdot 20(1+j)}{80(1+j)} = \frac{1200}{80}(1+j) = 15(1 + j)$$

Perché il parallelo si calcola come con i resistoriDue impedenze con lo stesso argomento si comportano come due resistori moltiplicati per lo stesso numero complesso: qui 60 parallelo 20 = 15, poi si moltiplica per (1 + j)..

Serie con il condensatore:

$$\boxed{\dot Z_{AB} = \dot Z_C + \dot Z_3 = -j40 + 15 + j15 = 15 - j25\ \Omega}$$

3. Interpretazione

Parte reale positiva (bipolo passivo), reattanza negativa: il bipolo è ohmico-capacitivo a questa pulsazione. Modulo $|\dot Z_{AB}| = \sqrt{15^2 + 25^2} \approx 29{,}2\ \Omega$, argomento $\varphi = -\arctan\frac{25}{15} \approx -1{,}03\ \mathrm{rad}$ ($-59°$): la corrente è in anticipo di $59°$ sulla tensione.

A un'altra pulsazione il risultato cambierebbe: per esempio a $\omega = 2000\ \mathrm{rad/s}$ le reattanze induttive raddoppiano e quella capacitiva si dimezza.