Esercizio 2.17 - correnti di anello con un GTPC e un GTPT

Testo (Eserciziario, es. 2.17). Rete in regime stazionario con $R_1 = 10\ \Omega$, $R_2 = 40\ \Omega$, $R_3 = 20\ \Omega$, $R_4 = 50\ \Omega$, $R_5 = 30\ \Omega$, un GIC $J_1 = 3\ \mathrm A$, un GIT $E_2 = 10\ \mathrm V$, un GTPC con $r = 20\ \Omega$ e un GTPT con $\alpha = 3$. Calcolare $V_{AB}$ con il metodo delle correnti di anello.

Figura (descritta). Il filo in alto a sinistra è il nodo A, il filo in basso a sinistra è il nodo B. Altri nodi: M (tra $R_2$ e $R_5$), X (tra GTPC e $R_3$), T (in alto a destra), Q (a destra, a metà altezza, collegato al filo in basso a destra).

Risultato: $V_{AB} = -105\ \mathrm V$.

Teoria: Metodo delle correnti di anelloPer reti piane: si associa a ogni anello (finestra del disegno) una corrente fittizia che lo percorre tutto, tutte nello stesso verso. Le correnti di lato sono somme algebriche delle correnti di anello, quindi le LKC sono automatiche; si scrivono le ℓ−n+1 LKT sugli anelli, per ispezione: autoresistenza × corrente dell'anello − Σ mutue resistenze × correnti degli anelli vicini = somma delle f.e.m. dei GIT percorsi dal − al +. Ogni GIC senza resistore in parallelo aggiunge come incognita la sua tensione e come equazione il legame tra la sua corrente e le correnti di anello (metodo modificato).Metodo delle correnti di anello →, Reti con generatori pilotatiUna rete lineare con generatori pilotati si risolve con gli stessi metodi (Kirchhoff, nodi, anelli, sovrapposizione, Thévenin e Norton) aggiungendo un'equazione per ogni pilotato: quella che esprime la grandezza di controllo con le incognite. Nella sovrapposizione si spengono solo i generatori indipendenti; i pilotati restano sempre attivi. La resistenza equivalente non si trova con serie e parallelo: si usa un generatore di prova (R_eq = V*/I* con i generatori indipendenti spenti) oppure il rapporto v_0 / i_cc. Con i pilotati R_eq può venire anche negativa.Reti con generatori pilotati →.

1. Gli anelli

La rete è piana con quattro anelli (maglie "finestra"). Correnti di anello tutte in senso orario:

Anello 1. $J_1$ sta solo sul lato esterno dell'anello 1, quindi ne fissa la corrente. In senso orario, sul lato sinistro, la corrente sale; $J_1$ la spinge in giù:

$$I_1 = -J_1 = -3\ \mathrm A$$

2. Le grandezze di controllo in funzione degli anelli

• $I$ (in $R_4$, verso destra): l'anello 4 in senso orario percorre $R_4$ verso sinistra, ed è l'unico anello che lo contiene. Quindi $I = -I_4$.
• $V_{AB}$: è la tensione su $R_1$ (tra il filo A e il filo B). In $R_1$ scorre verso il basso $I_1 - I_2$ (l'anello 1 lo percorre in giù, l'anello 2 in su). Quindi $V_{AB} = R_1 (I_1 - I_2)$.

3. LKT negli anelli 2, 3, 4

Somma delle cadute di tensione nel verso dell'anello uguale a zero. I generatori pilotati entrano come tensioni impresse.

Anello 2: $$R_1 (I_2 - I_1) + R_2 (I_2 - I_3) + R_5 (I_2 - I_4) = 0$$

Anello 3. Da A a T attraverso $E_2$ (dal $+$ al $-$): caduta $+E_2$. Da T a Q nel GTPT (dal $+$ al $-$): caduta $+\alpha V_{AB}$. Da Q a X in $R_3$: $R_3(I_3 - I_4)$. Da X a M nel GTPC (dal $+$ al $-$): caduta $+rI$. Da M ad A in $R_2$: $R_2(I_3 - I_2)$.

$$E_2 + \alpha V_{AB} + R_3 (I_3 - I_4) + r I + R_2 (I_3 - I_2) = 0$$

Anello 4. Da M a X nel GTPC (dal $-$ al $+$): caduta $-rI$. Poi $R_3$, $R_4$, $R_5$:

$$-r I + R_3 (I_4 - I_3) + R_4 I_4 + R_5 (I_4 - I_2) = 0$$

4. Sostituzione e soluzione

Con $I_1 = -3$, $I = -I_4$, $V_{AB} = 10(-3 - I_2) = -30 - 10 I_2$:

• Anello 2: $10(I_2 + 3) + 40(I_2 - I_3) + 30(I_2 - I_4) = 0 \ \Rightarrow\ 80 I_2 - 40 I_3 - 30 I_4 = -30$
• Anello 3: $10 + 3(-30 - 10 I_2) + 20(I_3 - I_4) - 20 I_4 + 40(I_3 - I_2) = 0 \ \Rightarrow\ -70 I_2 + 60 I_3 - 40 I_4 = 80$
• Anello 4: $20 I_4 + 20(I_4 - I_3) + 50 I_4 + 30(I_4 - I_2) = 0 \ \Rightarrow\ -30 I_2 - 20 I_3 + 120 I_4 = 0$

Risolvendo il sistema (per esempio ricavando $I_3$ dall'ultima, $I_3 = 6 I_4 - 1{,}5 I_2$, e sostituendo nelle altre due):

$$I_2 = 7{,}5\ \mathrm A, \qquad I_3 = 12{,}75\ \mathrm A, \qquad I_4 = 4\ \mathrm A$$

Verifica rapida dei numeriAnello 4: -30 per 7,5 - 20 per 12,75 + 120 per 4 = -225 - 255 + 480 = 0. Anello 2: 600 - 510 - 120 = -30. Anello 3: -525 + 765 - 160 = 80..

$$\boxed{V_{AB} = R_1 (I_1 - I_2) = 10\,(-3 - 7{,}5) = -105\ \mathrm V}$$

5. Osservazioni

• La matrice del sistema non è simmetrica (per esempio il coefficiente di $I_2$ nell'anello 3 è $-70$, quello di $I_3$ nell'anello 2 è $-40$): è l'effetto dei pilotati, che rompono la reciprocità. La regola pratica "autoresistenze sulla diagonale, mutue cambiate di segno fuori" vale solo prima di sostituire le grandezze di controllo.
• Controllo con i potenziali (B = 0): $V_A = -105$, $V_T = V_A - E_2 = -115$, $V_Q = V_T - \alpha V_{AB} = -115 + 315 = 200\ \mathrm V$, e infatti $I = (0 - 200)/50 = -4\ \mathrm A = -I_4$ ✓.