Generatori pilotati e trasformatore ideale

Dispensa, paragrafi 11.6 e 11.7. Sono doppi bipoli ideali inerti particolari (vedi Doppi bipoli e loro rappresentazioniUn doppio bipolo ha due porte e quattro grandezze (v1, i1, v2, i2) legate da due equazioni. Se è lineare e senza generatori interni (ideale inerte) le equazioni sono lineari omogenee: scegliendo quali due grandezze sono indipendenti si hanno sei rappresentazioni (matrici R, G, h, g, T, T'). Ogni parametro si calcola mettendo una porta a vuoto (corrente nulla) o in cortocircuito (tensione nulla). Reciproco: R12 = R21 (oppure det T = 1); simmetrico: anche R11 = R22. Serie di doppi bipoli: si sommano le R; parallelo: si sommano le G; cascata: si moltiplicano le T. Un doppio bipolo resistivo si sintetizza con tre resistori a T o a Π.Doppi bipoli e loro rappresentazioni →). Come si usano nelle reti: Reti con generatori pilotatiUna rete lineare con generatori pilotati si risolve con gli stessi metodi (Kirchhoff, nodi, anelli, sovrapposizione, Thévenin e Norton) aggiungendo un'equazione per ogni pilotato: quella che esprime la grandezza di controllo con le incognite. Nella sovrapposizione si spengono solo i generatori indipendenti; i pilotati restano sempre attivi. La resistenza equivalente non si trova con serie e parallelo: si usa un generatore di prova (R_eq = V*/I* con i generatori indipendenti spenti) oppure il rapporto v_0 / i_cc. Con i pilotati R_eq può venire anche negativa.Reti con generatori pilotati →.

Generatori pilotati

I GIT e i GIC visti in Generatori elettrici, GIT e GATUn generatore contiene un campo non conservativo che spinge le cariche; a vuoto la sua tensione è uguale alla forza elettromotrice, a carico cala di Ri·I. Il GIT (v = e per ogni i) è il modello senza perdite, il GAT (V = E − Ri I) aggiunge la resistenza interna; collegando un carico si trova il punto di lavoro.Generatori elettrici, GIT e GAT → sono indipendenti: impongono un valore fisso, qualunque cosa succeda nel resto della rete. Un generatore pilotato (o controllato, o dipendente) impone invece una tensione o una corrente su un lato della rete (il lato 2, grandezza pilotata) che è proporzionale a una tensione o a una corrente di un altro lato (il lato 1, grandezza di controllo o di pilotaggio).

Sono modelli usati soprattutto in elettronica: un transistor, in prima approssimazione, è un generatore di corrente pilotato; un amplificatore è un generatore di tensione pilotato in tensione.

Com'è fatta la porta 1. Il generatore "legge" la grandezza di controllo senza disturbare la rete:

• se legge una tensione, alla porta 1 c'è un circuito aperto ($i_1 = 0$), come un voltmetro ideale;
• se legge una corrente, alla porta 1 c'è un cortocircuito ($v_1 = 0$), come un amperometro ideale.

Simbolo. La porta 2 si disegna con un rombo (invece del cerchio dei generatori indipendenti): con $+$ e $-$ dentro se impone una tensione, con una freccia se impone una corrente. Accanto si scrive la legge, per esempio $\alpha V_{R2}$ o $\beta I_x$. La porta 1 di solito non è disegnata: è il lato della rete su cui è definita la grandezza di controllo (la tensione su un resistore, la corrente in un filo).

I quattro tipi

Come leggere la tabella: le due equazioni di ogni generatore, scritte con le grandezze indipendenti a destra, sono proprio le righe della matrice indicata. Per il GTPC, per esempio, $v_1 = 0 \cdot i_1 + 0 \cdot i_2$ e $v_2 = r\, i_1 + 0 \cdot i_2$: è la rappresentazione controllata in corrente.

Non sono reciproci (in tutte le matrici un elemento fuori diagonale è nullo e l'altro no): l'effetto va solo dal lato 1 al lato 2. E non sono passivi: la porta 2 può erogare potenza illimitata (vedi Esercizio 2.10 - potenze in una rete con GTPC).

Differenza fondamentale con i generatori indipendenti. Un generatore pilotato non si spegne mai quando si applica la sovrapposizione o si calcola una resistenza equivalente: il suo valore non è un dato esterno, ma dipende dalla rete. Si comporta più come un "resistore strano" che come una sorgente.

Trasformatore ideale

Il trasformatore ideale ha simbolo con due bobine e l'indicazione $n:1$. Con la convenzione dell'utilizzatore a entrambe le porte e i $+$ sui morsetti contrassegnati:

$$\boxed{\;v_1 = n\, v_2, \qquad i_1 = -\frac{1}{n}\, i_2\;}$$

$n$ è il rapporto di trasformazione (reale, adimensionale, preso positivo con i $+$ disegnati sui morsetti giusti). Le relazioni valgono istante per istante, anche con grandezze costanti. Un trasformatore reale, basato sull'induzione, funziona solo con grandezze variabili (in particolare sinusoidali); per le grandezze costanti esistono i convertitori elettronici dc/dc, che si comportano in modo simile.

Se si gira un riferimento. Cambiando il $+$ di $v_2$ e di conseguenza il verso di $i_2$ (per mantenere la convenzione dell'utilizzatore), le relazioni restano le stesse ma con $-n$ al posto di $n$. Per questo si fissa $n > 0$ e si segnano sul simbolo i morsetti per cui vale.

Rappresentazioni. Le due tensioni sono legate tra loro ($v_1 = n v_2$), quindi non si possono scegliere indipendentemente: non esiste $[G]$. Lo stesso per le correnti: non esiste $[R]$. Esistono le altre quattro, per esempio

$$[T] = \begin{bmatrix} n & 0 \\ 0 & \tfrac{1}{n} \end{bmatrix}$$

(da $v_1 = n v_2 + 0 \cdot (-i_2)$ e $i_1 = 0 \cdot v_2 + \frac{1}{n}(-i_2)$).

Proprietà

Reciproco: $\det [T] = n \cdot \frac{1}{n} = 1$. Simmetrico solo se $n = 1$ (serve anche $A = D$, cioè $n = 1/n$).

Potenza nulla in ogni istante:

$$p = v_1 i_1 + v_2 i_2 = (n v_2)\left(-\frac{i_2}{n}\right) + v_2 i_2 = -v_2 i_2 + v_2 i_2 = 0$$

La potenza che entra da una porta esce tutta dall'altra, senza perdite: il trasformatore ideale è "trasparente" alla potenza. Essendo $p = 0 \ge 0$, è passivo.

Può amplificare tensioni o correnti (pur essendo passivo, a differenza di una rete di resistori): con $n > 1$, un GIT $e$ alla porta 2 e la porta 1 aperta danno $|v_1| = n|e|$; un GIC $j$ alla porta 1 e la porta 2 in cortocircuito danno $|i_2| = n|j|$. Ciò che non può aumentare è la potenza.

Trasferimento di resistenza. Un resistore $R_2$ collegato alla porta 2 con la sua convenzione dell'utilizzatore ha corrente $i_2' = -i_2$ e tensione $v_2 = R_2 i_2' = -R_2 i_2$. Dalla porta 1:

$$v_1 = n v_2 = -n R_2 i_2 = -n R_2 (-n\, i_1) = n^2 R_2\, i_1$$

(perché $i_2 = -n\, i_1$). Visto dalla porta 1 il trasformatore chiuso su $R_2$ è un resistore

$$\boxed{R_{1eq} = n^2 R_2}$$

Applicazione: adattamento del carico. Per il Teorema del massimo trasferimento di potenzaUna rete con equivalente di Thévenin (e_eq, R_i) cede a un carico resistivo R_u la potenza P = R_u e_eq² / (R_i + R_u)². Al variare di R_u questa potenza è massima per R_u = R_i (carico adattato) e vale P_max = e_eq² / (4 R_i). In quella condizione il rendimento è solo del 50%.Teorema del massimo trasferimento di potenza →, un generatore reale ($E$, $R_i$) cede la potenza massima a un carico $R_u = R_i$. Se il carico ha un valore diverso, si interpone un trasformatore con $n = \sqrt{R_i / R_u}$: il generatore vede $n^2 R_u = R_i$ ed eroga la potenza massima, e il trasformatore la porta tutta al carico perché non ne assorbe.

Errori comuni

• Spegnere i generatori pilotati nella sovrapposizione o nel calcolo di $R_{eq}$: restano sempre accesi.
• Sbagliare il segno della grandezza di controllo: $V_{R2}$ o $I_x$ hanno un verso preciso disegnato in figura, e il generatore usa quel verso. Prima di scrivere le equazioni conviene esprimere subito la grandezza di controllo con le incognite scelte.
• Confondere $n^2 R_2$ con $R_2/n^2$: con $v_1 = n v_2$ ($n > 1$ vuol dire tensione più alta alla porta 1), dalla porta 1 la resistenza appare più grande.