Esercizio 1.51 - formula di Millman con un GIC e un GIT

Testo (Eserciziario, es. 1.51). Rete in regime stazionario con un GIC in parallelo a un resistore e un GIT in serie a un resistore: $R_1 = 5\ \Omega$, $R_2 = 10\ \Omega$, $J_1 = 5\ \mathrm A$, $E_2 = 20\ \mathrm V$. Calcolare $V_{AB}$ con la formula di Millman.

Figura (descritta). Filo in alto = A, filo in basso = B. Tra i due fili: il GIC $J_1$ (freccia in su, verso A); il resistore $R_1$; un ramo con $E_2$ (in alto, $-$ verso A, $+$ verso il basso) e $R_2$ (sotto). $V_{AB}$ ha il $+$ su A.

Risultato: $V_{AB} = 10\ \mathrm V$.

Teoria: Analisi nodale (metodo dei potenziali ai nodi)Si sceglie un nodo di riferimento (potenziale zero) e si prendono come incognite gli n−1 potenziali degli altri nodi; ogni tensione è una differenza di potenziali, quindi le LKT sono automatiche. Si scrive la LKC su ogni nodo non di riferimento, per ispezione: autoconduttanza × potenziale del nodo − Σ mutue conduttanze × potenziali vicini = somma delle correnti dei GIC entranti. Ogni GIT senza resistore in serie aggiunge un'incognita (la sua corrente) e un'equazione (u_+ − u_− = e): è l'analisi nodale modificata (MNA).Analisi nodale (metodo dei potenziali ai nodi) → (paragrafo sulla formula di Millman).

1. La formula

Due nodi collegati solo da rami in parallelo: la tensione tra i due nodi è

$$V_{AB} = \frac{\sum \pm J_h + \sum \pm \dfrac{E_k}{R_k}}{\sum G_h + \sum \dfrac{1}{R_k}}$$

• al numeratore le correnti dei GIC ($+$ se la freccia entra in A) e le correnti di cortocircuito dei rami GIT–R ($+$ se il $+$ del GIT è verso A);
• al denominatore le conduttanze di tutti i resistori.

2. I segni

• $J_1$ ha la freccia verso A: $+J_1 = +5\ \mathrm A$.
• $E_2$ ha il $+$ verso B (in basso): segno menoIl ramo GIT-R equivale a un GIC di corrente E/R con la freccia verso il + del GIT: qui la freccia punta verso B, cioè esce da A., $-E_2/R_2 = -2\ \mathrm A$.

3. Il calcolo

$$V_{AB} = \frac{J_1 - E_2/R_2}{G_1 + 1/R_2} = \frac{5 - 2}{0{,}2 + 0{,}1} = \frac{3}{0{,}3} = 10\ \mathrm V$$

4. Controllo con la sovrapposizione

• Solo $J_1$ ($E_2$ in cortocircuito): $J_1$ alimenta $R_1 \parallel R_2 = \frac{50}{15} = \frac{10}{3}\ \Omega$, quindi $V' = 5 \cdot \frac{10}{3} = \frac{50}{3}\ \mathrm V$.
• Solo $E_2$ ($J_1$ aperto): maglia $E_2$, $R_2$, $R_1$; la tensione su $R_1$ con il $+$ su A è $-E_2 \frac{R_1}{R_1 + R_2} = -20 \cdot \frac{5}{15} = -\frac{20}{3}\ \mathrm V$ (negativa: $E_2$ spinge la corrente in $R_1$ dal basso verso l'alto).

$$V_{AB} = \frac{50}{3} - \frac{20}{3} = 10\ \mathrm V \ ✓$$